488. Вычисление действия вдоль траектории.

Согласно теореме Якоби, примененной к рассматриваемому случаю (когда связи не зависят от времени и существует силовая функция), для нахождения траекторий

достаточно знать полный интеграл уравнения

содержащий, кроме еще произвольных постоянных

Тогда траектории определяются уравнениями

Выразим, что траектория проходит через две заданные точки и Обозначив через значения интеграла в этих точках, мы получим для определения постоянных уравнения

откуда, исключая получим уравнений вида

для определения постоянных Допустим, что таким путем определена траектория, соединяющая обе точки Тогда значение действия вдоль этой траектории равно . Чтобы это доказать, обозначим через приращение, которое получает когда система в ее действительном движении вдоль рассматриваемой траектории переходит из точки в точку Имеем

Но мы нашли, что в этом движении

Следовательно,

С другой стороны, имеем и на основании интеграла энергии

Следовательно,

и мы получаем действие вдоль рассматриваемой траектории в видз