494. Инвариантность множителя.

Для последующего важно рассмотреть вопрос о замене переменных. Покажем, что каждый множитель является инвариантом такой замены, но инвариантом относительным, причем в том смысле, что если умножить его на определитель преобразования, то он будет множителем для новой системы переменных.

Обозначим через новые переменные и введем временно вспомогательную переменную дифференциал которой равеи общему значению отношений Уравнения (1) напишутся при этом так:

Тогда имеем:

или, принимая во внимание уравнения (Г):

Следовательно, система дифференциальных уравнений обратится в следующую:

где положено .

Покажем, что функция является инвариантным выражением.

В самом деле,

но

и, следовательно,

Таким образом, может быть выражено через у, если применить к уравнениям (10) то же правило, которое позволило построить функцию при помощи уравнений (1). Заметим, что это. не было бы верно, если бы вместо того, чтобы принять функции равными выражениям взять их просто пропорциональными этим выражениям.

Пусть теперь система независимых интегралов, — произвольная функция и — множитель, который удовлетворяет тождеству

Произведем замену переменных. Тогда, если — новые переменные, то по известному свойству функциональных определителей получим

Следовательно, тождество (11) приводится к следующему:

Это доказывает, что в новых переменных функция

является множителем.

Пусть теперь М — произвольный множитель для переменных — по-прежнему множитель тождества (11). Как мы показали,

где X — интеграл. Следовательно, имеем

Но так как как мы только что доказали, является множителем для переменных а с другой стороны, X есть интеграл, то будет множителем для переменных

Итак, окончательно, М есть множитель для новых переменных. Отсюда вытекает теорема:

Если М есть множитель для переменных то произведение М на функциональный определитель является множителем для новых переменных

Эта теорема является основой всей теории множителя.