363. Исследование изменения длины синхронного математического маятника при перемещении оси подвеса заданного тела.

Формула позволяет прежде всего исследовать изменение длины синхронного маятника, когда ось подвеса перемещается в теле параллельно самой себе. Само выражение этой длины показывает, что V имеет минимум, когда оба члена равны между собой, т. е. когда ось подвеса находится на расстоянии, равном радиусу инерции от центра тяжести. Тогда это минимальное значение равно Если задаться длиной большей чем то существуют два соответствующих значения I. Следовательно, оси подвеса, параллельные заданному направлению, для которых синхронный математический маятник имеет одну и ту же длину образуют два круговых цилиндра, общая ось которых проходит через центр тяжести.

Возьмем теперь произвольные оси подвеса. Для того чтобы увидеть, как изменяется длина V синхронного математического маятника, отнесем тело к главным осям центрального эллипсоида инерции. Уравнение этого эллипсоида имеет вид

Обозначим через направляющие косинусы оси подвеса и через I ее расстояние от центра тяжести, т. е. от выбранного начала координат. Момент инерции системы относительно оси проведенной через центр тяжести параллельно оси подвеса, равен (п. 318)

Следовательно, для длины синхронного математического маятника получаем:

При помощи этой формулы можно исследовать комплекс, образованный осями, для которых синхронный математический маятник имеет заданную длину. Это исследование выполнено в статье Бёклён (BOklen, Crelle, т. 93), в которой содержатся некоторые важные результаты, указанные в упражнении 5 в конце главы.

Рис. 204.