382. Вспомогательные сведения из кинематики. Мгновенное вращение подвижного триэдра.

Рассмотрим триэдр движущийся вокруг неподвижной точки О относительно триэдра рассматриваемого как неподвижный. Для определения этого движения углы Эйлера должны быть заданы в виде непрерывных функций времени.

Мы видели в кинематике, что распределение скоростей в момент времени в твердом теле, движущемся вокруг закрепленной точки, будет таким же, как если бы это тело совершало вращение с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через неподвижную точку.

Эта угловая скорость называется мгновенной угловой скоростью вращения в момент и представляется, как мы Это указывали некоторым вектором. Обозначим через проекции вектора мгновенной угловой скорости вращения подвижного триэдра на подвижные оси Мы выразили в функции девяти косинусов и их производных по времени Сейчас мы займемся вычислением в функции их производных по

Чтобы перевести триэдр из положения, которое он занимает в момент времени и которое соответствует значениям трех углов, в положение, бесконечно близкое, которое он занимает в момент и которое соответствует углам можно поступить следующим образом.

Сначала нужно повернуть триэдр на угол вокруг оси тогда увеличится на не изменятся. Вокруг нового положения линии нужно повернуть триэдр на угол Наконец, вокруг нового положения оси нужно повернуть его на угол Если предполагать, что эти три угловых перемещения делаются в пространстве в течение промежутка времени то соответствующие угловые скорости вращений будут

Можно сказать, что мгновенное вращение триэдра с угловой скоростью является результирующим трех вращений вокруг осей с угловыми скоростями Эти три составляющие вращения представляются векторами, равными и лежащими на осях (рис. 224). Результирующий вектор является геометрической суммой этих трех векторов. Его проекция на произвольную ось равна сумме проекций составляющих векторов на ту же ось.

Мы найдем сначала проекции мгновенного вектора подвижного триэдра на взаимно-перпендикулярные оси где ось лежит в плоскости и образует с осью угол Обозначим через эти три проекции, из которых третья равна Чтобы их найти, достаточно заметить, что вектор лежащий в плоскости может быть разложен на его две проекции на оси и так что

Тогда три составляющие вектора по осям будут

Чтобы найти теперь и достаточно взять суммы проекций и на оси Так как взаимно-перпендикулярные оси лежат в плоскости и ось образует с осью угол то

непосредственно получаем

откуда находим окончательные формулы, определяющие

Примечание. В этих формулах первые члены каждой из трех правых частей представляют собой три проекции соответственно на оси вектора направленного по оси Отсюда получаются косинусы углов, которые образует ось с осями

что мы уже видели в предыдущем пункте.

Обратная задача. Мы только что видели, как, зная движение триэдра , т. е. выражения или девяти косинусов в функции можно вычислить проекции мгновенной угловой скорости вращения триэдра в функции

Обратно, допустим, что известны в функции и что требуется вычислить или девять косинусов в функции Тогда надо будет проинтегрировать уравнения (2) первого порядка относительно Можно показать, что эта задача приводится к интегрированию одного уравнения Риккати с комплексными коэффициентами. [См. Darboux, Lemons sur la thdorie ?ёпёга1е des surfaces, т. I, глава II; Mayer, Simmetrische L6sung, ... (Berichte der Konigl. sSchs. Geselschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 2 марта 1902) и курсы анализа, например, Гурса.]