426. Свободное падение тяжелой точки.

Предположим, что падение происходит в пустоте. Тогда равны нулю и уравнения движения имеют вид

Допустим, что движущаяся точка выходит из начала без относительной начальной скорости. Правые части уравнений движения являются точными производными; интегрируя один раз и принимая во внимание начальные условия, имеем:

Чтобы закончить интегрирование, можно во втором из уравнений (1), определяющем заменить их значениями, после чего получится линейное уравнение второго порядка

которое может быть проинтегрировано до конца.

Но так как очень мало, то получается вполне достаточное приближение, если разложить х, у, z в ряды по возрастающим степеням и ограничиться лишь членами первого порядка.

Попробуем удовлетворить уравнениям (2) рядами

в которых суть функции аргумента равные вместе с их первыми производными нулю при Подставляя эти разложения в уравнения (2) и приравнивая коэффициенты при одних и тех же степенях мы получим сначала

Отсюда, интегрируя, получим

После этого находим

и т. д. Таким образом, если пренебречь в разложениях (3) членами с то для приближенных значений получится

Следовательно, точка остается в плоскости но вместо того, чтобы падать по вертикали, как это было бы, если бы Земля не вращалась, она слегка отклоняется к востоку, так как у положительно. В плоскости точка описывает полукубическую параболу

Это уравнение позволяет вычислить отклонение к востоку при заданной высоте падения

Чтобы получить скорость движущейся точки, достаточно применить теорему кинетической энергии, из которой для скорости непосредственно получается значение

Чтобы довести приближение до членов с нужно, как показал де Спарр, принять во внимание изменение g (de Sрагге, Bulletin de la Societe raathematique de France, т. XXXIII). Но тогда, согласно Рудцкому (Rudzki, там же, т. XXXIV), надо ввести притяжение Луны.