480. Тождество Пуассона.

Между скобками трех взятых попарно функций существует замечательное тождество, которое непосредственно приведет нас к теореме Пуассона. Чтобы установить это тождество, сделаем сначала следующее замечание.

Пусть - функция от которая может, кроме того, содержать и функции тех же переменных. Положим

где обозначает, что над функцией производится действие, выражаемое правой частью. Далее, обозначая через

другую систему функций тех же переменных, положим также

Рассмотрим затем выражение полученное заменой в обеих частях равенства (5) функции функцией и выражение полученное заменой в обеих частях равенства (6) функции функцией Разность не содержит производных второго порядка от Это можно непосредственно проверить. Например, в выражении коэффициенты при и при равны соответственно и в выражении коэффициенты при и при будут теми же самыми и, следовательно, эти производные при составлении разности исчезнут. То же самое будет и с остальными производными второго порядка, например с

Пусть теперь — три произвольные функции от Составим скобки

путем круговой перестановки букв Имеем тождественно

т. е.

Это и есть тождество, указанное Пуассоном. Его можно проверить непосредственным вычислением. Можно сократить вычисления, если воспользоваться замечанием, которое мы заимствуем у Гурса (Lemons sur l’integration des equations aux deres partielles du premier ordre, стр. 132, 1891 и «Курс анализа», т. II). Каждый член левой части тождества (7), которое требуется доказать, есть произведение производной второго порядка на две - производные первого порядка. Следовательно, достаточно установить, что левая часть не содержит никаких производных второго порядка. Покажем, например, что она не содержит вторых производных от т. е. что все члены, содержащие вторые производные от исчезают. В самом деле, члены, содержащие вторые производные от происходят

т. е. от

чго можно написать также в виде

Мы можем тогда положить

поскольку оба выражения линейны относительно производных от . При таких обозначениях выражение (8) напишется в виде

Оно, как мы видели выше, не содержит производных второго порядка от

Доказав, таким образом, тождество Пуассона, мы легко выведем из него теорему, открытую Пуассоном, особая важность которой была подчеркнута Якоби.