519. Теорема Карно.

Рассмотрим систему со связями без трения, совершающую известное движение. Допустим, что в момент на эту систему внезапно накладываются новые связи без трения. Это вызовет удар, который будет продолжаться в течение промежутка времени Мы будем рассматривать его как бесконечно короткий. В течение этого времени скорости различных точек, равные вначале изменятся и станут В рассматриваемом случае заданные удары с проекциями с равны нулю, так как единственными ударами, действующими на систему, будут те, которые происходят от связей, первоначально существовавших или внезапно наложенных. Тогда общее уравнение (2) принимает вид

Это уравнение должно удовлетворяться при любых возможных перемещениях, допускаемых связями, существующими во время удара.

Теорема Карно заключается в следующем.

Если первоначальные связи и связи, внезапно наложенные, сохраняются после удара, то кинетическая энергия, потерянная за время удара, равна кинетической энергии, которую имела бы система, если бы скорость каждой точки равнялась ее потерянной скорости.

В самом деле, так как уравнение (3) должно удовлетворяться при любых возможных перемещениях, допускаемых связями, существующими в момент удара, то в рассматриваемом случае оно должно удовлетворяться и при действительном перемещении, которое последует за ударом, так как связи при этом сохраняются. Но для этого действительного перемещения

и уравнение (3) приводится к виду

или после замены их значениями виду

Скорости до удара, скорости после удара и потерянные скорости выражаются равенствами:

Можно непосредственно убедиться, что коэффициент при в уравнении (4) равен Окончательно это уравнение приводится к виду

Таким образом, теорема доказана.

Кинетическая энергия называется кинетической энергией потерянных скоростей.

Приложения теоремы Карно. Теорема Карно играет в теории удара такую же роль, как теорема кинетической энергии в динамике. Она вполне определяет состояние скоростей после удара, если первоначальные и внезапно наложенные связи являются сохраняющимися и число их таково, что система обращается в систему с полными связями.

Прежде чем рассмотреть некоторые приложения теоремы Карно, найдем формулы для вычисления кинетической энергии потерянных скоростей твердого тела, движущегося вокруг неподвижной оси или неподвижной точки.

Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной оси. Обозначим через момент инерции тела относительно неподвижной оси, принятой за ось и через и — угловые скорости вращения тела в моменты когда начинается и когда кончается удар. Точка т. тела имеет в момент скорость, перпендикулярную к плоскости и равную где обозначает расстояние от точки до оси вращения . В момент скорость этой точки станет равной и сохранит то же направление. Векторная разность или потерянная скорость, будет равна по абсолютной величине Кинетическая энергия, соответствующая этой потерянной скорости, будет равна для точки а для всего тела

Твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки. Пусть О — неподвижная точка, - главные оси инерции в этой точке и А, В, С — соответствующие моменты инерции. До удара тело будет совершать мгновенное вращение с составляющими угловой скорости по осям равными а после удара оно будет совершать мгновенное вращение с составляющими Проекции скорости точки равны и кинетическая энергия до удара равна (п. 383)

Точно так же получаем проекции скорости точки и конечную кинетическую энергию Проекции потерянной

скорости равны разностям проекций скоростей

После этого кинетическая энергия потерянных скоростей получится из равенства (5) заменой в нем величин величинами

Первый пример. Баллистический маятник. В баллистическом маятнике удар происходит вследствие внезапно накладываемо! связи, которая принадлежит к типу сохраняющихся. Теорема Карно может быть приложена. Пользуемся теми же обозначениями, что и в

До удара маятник неподвижен; следовательно, кинетическая энергия системы равна кинетической энергии снаряда.

После удара угловая скорость маятника будет скорость снаряда будет следовательно, кинетическая энергия системы будет равна

Вычислим, наконец, кинетическую энергию потерянных скоростей. Потерянная скорость снаряда равна так как его скорости до удара и сразу же после него имеют одинаковые направления. Следовательно, кинетическая энергия потерянных скоростей снаряда равна Кинетическая энергия потерянных скоростей маятника на основании приведенной выше общей формулы равна Но в рассматриваемом случае и это выражение приводится к Написав, что потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии потерянных скоростей, получим

Рис. 273.

Из этого уравнения после сокращения получаем для значение, найденное в п. 513.

Второй пример. Два ролика (рис. 273), имеющие радиусы вращаются вокруг параллельных осей с угловыми скоростями, алгебраические значения которых, отсчитываемые в одном и том же направлении вращения, равны

На оба ролика намотана ненатянутая нить. В некоторый момент нить натягивается, вследствие чего происходит удар. Требуется найти новые угловые скорости, которые приобретут ролики, предполагая, что нить после удара остается натянутой.

Если мы обозначим через и моменты инерции роликов относительно их осей, то потерянная кинетическая энергия системы равна

Кинетическая энергия потерянных скоростей равна

Следовательно, по теореме Карно имеем

или, упрощая,

Но так как нить остается натянутой, то

Из двух последних уравнений находим искомые угловые скорости:

Третий пример. Представим себе, что твердое тело движется вокруг неподвижной точки О, и допустим, что в нем внезапно закрепляется вторая точка О, так что после этого тело может только вращаться вокруг оси Найдем конечную угловую скорость вращения вокруг оси .

Так как добавляется связь сохраняющаяся, то можно применить теорему Карно. Примем за оси главные оси инерции тела в точке О. Обозначим через А, В, С главные моменты инерции и через — составляющие мгновенной угловой скорости до удара, являющиеся известными величинами.

Обозначим, кроме того, через направляющие косинусы оси относительно осей эти величины известны, так как точка О, которая внезапно закрепляется, представляет собой определенную точку тела. Конечная угловая скорость вокруг оси имеет следующие составляющие по осям координат:

Написав, что потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии потерянных скоростей, получим

откуда находим

Мы видим, что если

т. е. если направления вектора и оси являются для эллипсоида инерции сопряженными направлениями, то Тело после удара станет неподвижным.