II. Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости

365. Общие положения.

В предыдущих примерах было рассмотрено движение твердых тел, точки которых могли перемещаться только параллельно неподвижной плоскости. Рассмотрим теперь такое же движение в общем виде. Возьмем, например, цилиндр, лежащий своим основанием на неподвижной плоскости; каждая точка тела будет тогда описывать траекторию, лежащую в неподвижной плоскости, параллельной заданной неподвижной плоскости. В частности, если через центр тяжести в его начальном положении провести плоскость параллельную неподвижной плоскости, то центр тяжести будет оставаться в этой плоскости. То же самое будет для всех точек тела, лежащих в начальный момент в этой плоскости. Рассмотрим сечение 5 тела плоскостью Для определения положения тела достаточно, очевидно, знать положение этого сечения т. е. координаты центра тяжести О (рис. 205) относительно неподвижных осей Ох и Оу и угол образуемый осью и каким-нибудь радиусом От, неизменно связанным с телом.

Рис. 205.

Если предположить, что на тело действуют внешние силы, проекции которых на оси мы обозначим через то составим сначала два уравнения по теореме движения центра тяжести:

где суммы 2 распространены на все внешние силы.

Проведем через центр тяжести оси параллельные неподвижным осям, и обозначим через координаты точки тела относительно этих осей, а через момент инерции тела относительно оси перпендикулярной к плоскости

Относительное движение тела по отношению к осям есть вращение с угловой скоростью вокруг оси Так как для движения вокруг оси применима теорема момента количества движения, то имеем уравнение

Последнее можно получить так же, как в п. 359, применяя теорему кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести.

Таковы три уравнения, определяющие в функции Из комбинаций этих уравнений, которые могут заменить одно или другое из них, упомянем следующие:

1°. Уравнение, получаемое применением теоремы момента количества движения относительно неподвижной оси перпендикулярной к плоскости Согласно доказанной нами теореме сумма моментов количеств движения различных точек тела относительно оси равна моменту количества движения всей массы, предполагаемой сосредоточенной в центре тяжести, сложенной с моментом количеств движения в относительном движении вокруг оси Имеем уравнение

2°. Уравнение, получаемое применением теоремы кинетической энергии к абсолютному движению. Согласно теореме Кёнига (п. 349) кинетическая энергия системы равна

Имеем поэтому уравнение

В скобках правой части третье слагаемое отсутствует, так как для всех точек равно нулю.

Если обозначить через момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через мгновенный центр вращения плоской фигуры , то кинетическая энергия тела будет так как скорости будут такими же, как если бы тело вращалось вокруг этой мгновенной оси. Но так как рассматриваемая ось перемещается в теле, то величина является переменной.

Примечание. У тела могут быть и другие связи, кроме тех, которые заставляют его перемещаться параллельно неподвижной плоскости Тогда реакции, развиваемые этими связями, будут входить в правые части некоторых из предыдущих уравнений и необходимо будет их исключить. Если, однако, эти связи не зависят от времени и осуществляются без трения, то реакции связей не войдут в уравнение кинетической энергии (5).

Если имеется несколько твердых тел, движущихся параллельно неподвижной плоскости, то можно применить к каждому из них предыдущие уравнения и исключить затем взаимные реакции тел или можно применить общие теоремы к совокупности этих тел. Из нижеследующих примеров будет видно, как можно решать такого рода задачи.

Рис. 206.