491. Задача Майера для случая внутренних сил.

Допустим, что все силы системы являются внутренними т. е. что они происходят исключительно от действий одних точек системы на другие. Становясь на очень общую точку зрения, Майер не предполагает, как мы делали во всем этом курсе, что внутренние силы происходят исключительно от попарных взаимодействий точек, т. е., что эти силы попарно равны и противоположны друг другу, а допускает только, что все внутренние снлы в каждый момент времени удовлетворяют шести условиям равновесия твердого тела:

так что если бы система в какой-нибудь момент затвердела, то внутренние силы оказались бы в равновесии. Установив это, Майер решает следующую задачу.

Найти наиболее общие выражения внутренних сил действующих на движущуюся систему и удовлетворяющих двум следующим условиям, во-первых, силы имеют силовую функцию во-вторых, они удовлетворяют, в каждый момент времени условиям равновесия твердого тела.

Мы не можем воспроизвести здесь анализ Майера и ограничимся только формулировкой полученных им теорем.

I. Наиболее общее выражение сил (1), удовлетворяющих тождественно условиям (2), получится, если принять за произвольную функцию времени и разностей

II. Наиболее общие выражения для сил (1), удовлетворяющие тождественно условиям (3), получатся, если принять за функцию произвольную функцию времени, расстояний точек системы от начала, их взаимных расстояний и первых производных этих двух видов расстояний по времени.

Соединяя эти две теоремы, получаем ответ на поставленную задачу.

III. Наиболее общие выражения сил (1), удовлетворяющие условиям (2) и (3), получатся, если принять за произвольную функцию времени, взаимных расстояний точек системы и производных этих взаимных расстояний по времени.

Движение центра тяжести будет, тогда прямолинейным и равномерным и теорема площадей будет применима к проекциям движения на каждую из координатных плоскостей.

IV. Для того чтобы существовал интеграл энергии, т. е. для того, чтобы сумма

была полной производной по времени некоторой функции координат, их производных и времени, необходимо и достаточно, чтобы силы имели силовую функцию не зависящую от Тогда интеграл энергии будет

Если функция удовлетворяет условиям теоремы III и не содержит то этот интеграл напишется так:

где обозначает расстояние между точками и где есть производная от по времени.

Возьмем, например, систему, образованную двумя точками, находящимися на расстоянии друг от друга.

Взаимные действия этих двух точек подчиняются закону равенства действия и противодействия. Если потребовать дополнительно, чтобы они имели силовую функцию и чтобы существовал интеграл энергии, то нужно будет принять для силы взаимодействия выражение

или, что то же самое,

где — функция одних лишь величин

Мы отсылаем по этому вопросу также к заметке Мориса Лёви (Maurice Levy, Comptes rendus, т. XCV.)