501. Теорема Кёнигса.

Рассмотрим случай, когда является линейной формой:

где — функции от и от

Чтобы выразить, что является интегралом, напишем

или

что может быть написано еще так:

Уравнение (38) легко приводит к доказательству изящной теоремы Кёнигса (Koenigs, Comptes, rendus, декабрь 1895), который установил связь между линейными интегралами вида и приведением к каноническому виду произвольной системы дифференциальных уравнений.

Линейные дифференциальные формы вида были предметом многочисленных исследований и особенно исследований Пфаффа (Pfaff), задавшегося целью привести их к некоторым каноническим системам (См. Дарбу, Bulletin des Sciences mathematiques, т. XVII, 1882, стр. 16; Гурсa, Lefons sur la ргоЫёше de Pfaff, Paris, 1922). Этим же формам посвящены работы Е. Картана (Е. Cartan).

Действительно, доказано, что каждая линейная дифференциальная форма может быть приведена к одному из двух видов:

где переменные независимы между собой. Получение этих приведенных видов требует интегрирования некоторых дифференциальных уравнений, для изучения которых мы отошлем к статье Дарбу.

Допустим теперь, что мы применили процесс приведения к форме в которой рассматривается как постоянная и что мы пришли, например, к виду содержащему переменных.

Может случиться, что меньше чем Тогда, присоединяя переменные в количестве мы можем принять в качестве новых переменных величин .

Тогда в этих новых переменных система дифференциальных уравнений примет вид

где — функции переменных

Условие (38), так как здесь обратится в следующее:

Положим

тогда получим

Так как это равенство должно иметь место при любых 8, то должно быть,

после чего получим

Следовательно, система дифференциальных уравнений (39) имеет вид

и еще

Мы пришли таким образом к канонической системе (43) совместно с системами уравнений (44) и (45).

Если вместо вида мы приведем к виду то, поступая точно так же, мы придем к условию

Полагая

получим, как и выше,

так что Н удовлетворяет здесь уравнению

т. е. Н является однородной функцией первого порядка однородности относительно

Тогда система дифференциальных уравнений обратится в систему уравнений

совместно с уравнениями

Можно легко доказать, что если число нечетное и если произвольный интеграл, линейный относительно переменной, то получится вид При этом Если, наоборот, — четное, то это будет вид Таким образом, в общем случае добавочной системы уравнений (45) или (47) не существует, и мы приведем уравнения к каноническому виду совместно с уравнением (44) или без него в зависимости от

Возьмем случай нечетного и допустим, что дан интеграл который после приведения к каноническому виду принимает вид

В частности, если Е не зависят от переменной то имеем

или, вспоминая, что

получим

Таким образом, сумма приводится к главной функции Н. Если Н не зависит от времени, то, как мы знаем, Н является интегралом.

Таким будет случай, когда X или не зависят от времени.

Заметим, что во всех случаях уравнение (44) приводится к квадратуре. Аналогичные замечания имеют место и при четном.