465. Общая форма уравнений движения, пригодная как для голономных, так и для неголономных систем

Рассмотрим систему, подчиненную таким связям, что для получения наиболее общего перемещения, допускаемого связями в момент достаточно сообщить параметрам произвольные вариации

Если мы обозначим через координаты произвольной точки системы относительно неподвижных осей, то проекции возможного перемещения этой точки системы на эти оси будут следующие:

где произвольны. В этих формулах коэффициенты могут зависеть от времени от параметров

и от других параметров вариации которых связаны с вариациями параметров зависимостями вида

в которых коэффициенты также зависят от и от совокупности параметров При этих условиях действительное перемещение системы за время определяется соотношениями вида

совместно с соотношениями

в которых коэффициенты те же, что и в уравнениях (1) и (2). Коэффициенты при если связи не зависят от времени, равны нулю.

Уравнения движения могут быть получены теперь следующим образом.

Общее уравнение динамики, выведенное из принципа Даламбера и принципа возможных работ, имеет вид

где — вторые производные от координат по времени, а — проекции какой-нибудь заданной силы

Это уравнение должно иметь место при любых перемещениях (1), допускаемых связами; следовательно, оно распадается на следующих уравнений:

В этих уравнениях правые части вычисляются, как в уравнениях Лагранжа, а именно, заменяя их значениями (1), получим для суммы возможных работ приложенных сил

Величины и являются правыми частями уравнений (6):

Для вычисления левых частей разделим соотношения (3), определяющие действительное перемещение, на и обозначим через производные Имеем:

Взяв еще раз производные обеих частей по получим:

Ненаписанные члены не содержат Но тогда, очевидно, имеем:

Следовательно, уравнения движения напишутся так:

Рассмотрим теперь функцию

где - абсолютное ускорение точки . Тогда уравнения примут вид

Мы видим, что для того, чтобы написать уравнения движения, достаточно вычислить только функцию и выразить ее таким образом, чтобы она содержала вторые производные только от параметров вариации которых рассматриваются как произвольные. Может случиться, что эта функция выраженная через будет содержать их производные первого порядка и их производные второго порядка

Тогда, деля обе части соотношения (4) на получим в виде линейных функций от дифференцируя которые по времени мы получим также в виде линейных функций от Можно, следовательно, всегда сделать так, чтобы функция не содержала никаких других вторых производных, кроме При этом она будет содержать эти величины во второй степени. Как только функция будет таким образом преобразована, можно будет составить уравнения (10). Эти уравнения совместно с условиями (4) образуют систему уравнений, определяющих в функции времени.

Следовательно, чтобы охарактеризовать движение, достаточно знать функцию которую называют энергией ускорения системы, и величины вычисляемые, как в уравнениях Лагранжа.

Функция будет второй степени относительно

Очевидно, что достаточно подсчитать лишь те члены функции которые содержат вторые производные от параметров, так как остальные члены при вычислении частных производных по ничего не дают.

Можно заметить на основании формул (7) и (8), что если составить выражение кинетической энергии

то коэффициенты при вторых степенях величин в выражении для Т будут идентичны с коэффициентами при вторых степенях величин в выражении для . В этой функции коэффициенты при вторых степенях величин зависят от параметров и от времени; коэффициенты же при первых степенях величин содержат, кроме того, вторые степени величин