362. Физический маятник.

Физический маятник — это тяжелое твердое тело массы М, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси.

Примем за ось ось подвеса, вокруг которой может вращаться тело, а за плоскость — вертикальную плоскость, содержащую окружность, описываемую центром тяжести О, причем осью является вертикаль, направленная вниз (рис. 202).

Пусть — угол, образуемый к моменту прямой с вертикалью Угловая скорость в этот момент будет

и уравнение движения будет

Правая часть, представляющая собой сумму моментов сил тяжести относительно оси равна моменту полного веса, приложенного в центре тяжести, ордината которого есть

Заменяя через получим уравнение

Рис. 202.

Сравним это уравнение с уравнением движения математического маятника длины а именно с уравнением

Мы видим, что движение физического маятника будет таким же, как и движение математического маятника, длина котерого

Этот математический маятник называется синхронным маятником для рассматриваемого физического.

Если на прямой отложить отрезок то частица 0е твердого тела колеблется так, как если бы она была отделена от тела и связана с точкой О невесомой нитью. Обозначим через радиус инерции тела относительно оси, параллельной оси и проходящей через центр тяжести. Получим (п. 317):

откуда вычисляем и подставляем в значение :

Отсюда следует, что всегда больше, чем и что расстояния и имеющие соответственно значения , связаны соотношением

Ось, проведенная через О параллельно оси подвеса, получила по Гюйгенсу наименование оси качания. Все точки этой оси колеблются так, как если бы они были отделены от тела и связаны невесомыми нитями с осью подвеса. Предыдущая формула показывает, что ось качания и ось подвеса взаимно обратимы, так что если подвесить тело за ось качания, то прежняя ось подвеса станет теперь осью качания.

Теорема Гюйгенса. Если в плоскости, проходящей через центр тяжести, по ту и другую сторону от него проведены на неодинаковых расстояниях две параллельные оси, для которых длины синхронных математических маятников одинаковы, то эти длины в точности равны расстоянию между обеими осями.

В самом деле, если суть расстояния от центра тяжести до двух осей, проведенных через общая длина синхронного маятника, то

Сравнивая эти два равенства, находим:

откуда, отбрасывая решение получаем:

и следовательно, расстояние между осями действительно равно длине синхронного маятника. Если одну из осей принять за ось подвеса, то другая будет осью качания.

На этом принципе устроен обратный маятник Катёра (Kater), применяемый в геодезии. Этот маятник является телом вращения, образованным двумя сплющенными цилиндрами, соединенными стержнем. Перпендикулярно к этому стержню и симметрично относительно его середины укреплены два агатовых ножа, вокруг которых система может попеременно качаться. Один из цилиндров полый, а другой заполнен свинцом, так что центр тяжести расположен ближе к одному ножу, чем к другому. По теореме Гюйгенса массы можно подобрать так, чтобы периоды колебаний вокруг обеих осей были одинаковы, и этот общий период будет периодом колебаний математического маятника, длина которого равна расстоянию между ребрами ножей.

Маятнику придают внешнюю форму, симметричную относительно середины стержня для того, чтобы сопротивление воздуха было одинаково при колебаниях маятника вокруг обоих ножей. При этих условиях, если периоды колебаний в воздухе вокруг обоих ножей одинаковы, то они будут одинаковыми также и при колебаниях

в пустоте. Но общий период колебаний в пустоте будет несколько меньше, чем в воздухе, как мы это уже видели для математического маятника (п. 249).

Реакции оси при движении физического маятника.

Рассмотрим частный случай, когда физический маятник симметричен относительно плоскости в которой колеблется его центр тяжести. Ось подвеса будет тогда главной осью инерции для точки О, так как плоскость будет плоскостью симметрии для эллипсоида инерции в точке О. Следовательно, имеем:

Из соображений симметрии можно предвидеть, что реакция оси подвеса на маятник может быть тогда приведена к единственной силе приложенной в точке О и лежащей в плоскости

В этом можно легко убедиться, применяя предыдущие общие формулы (1).

Рис. 203.

В самом деле, допустим, что реакция состоит из силы приложенной в точке О, и силы приложенной в точке оси на расстоянии А от точки О. Так как единственной силой, непосредственно действующей, является вес приложенный в точке то в рассматриваемом случае (рис. 203)

где последние две формулы очевидны, так как вес лежит в плоскости Тогда формулы (1) после замены через через приводятся к виду

Два последних равенства показывают, что равны нулю; две составляющие и направленные по оси сумма которых равна нулю, равны и прямо противоположны и могут быть отброшены, что соответствует предположению, что Тогда реакция равиа нулю, а реакция находится в плоскости где ее компоненты по осям суть величины

Вычислим составляющие и реакции по направлению и по перпендикулярному к нему направлению в плоскости (рис. 203). Имеем:

С другой стороны, так как

то из формул (4) получим:

Но на основании уравнения движения

и согласно теореме кинетической энергии (предоставляющей первый интеграл этого уравнения) имеем:

Окончательно

Так как то составляющая по имеет всегда знак, противоположный она будет равна нулю, если тело сжать в точку, т. е. если маятник превратить в математический, так как в этом случае . Этот последний результат очевиден, так как для математического маятника реакция точки подвеса равна и противоположна натяжению нити.