II. Теорема кинетической энергии
336. Доказательство.
Теорема кинетической энергии применялась впервые Гюйгенсом; в общем виде она была высказана Иваном и Даниилом Бернулли. Чтобы ее доказать, будем снова исходить из уравнений движений одной точки 
системы
Применяя к этой точке теорему кинетической энергии, мы имеем:
Суммируя затем все аналогичные уравнения, получим:
Сумма 
кинетических энергий всех точек системы называется кинетической энергией системы. Имеем, следовательно, теорему:
Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, как внешних, так и внутренних.
Важно отметить, что работы внутренних сил не пропадают. В этом можно убедиться непосредственно. Действительно, рассмотрим две точки 
(рис. 189), расположенные на расстоянии 
друг от друга. Действие 
на М представляет собой некоторую силу, направленную вдоль 
и наоборот, действие М на 
есть сила, равная и прямо противоположная первой.
Рис. 189.
Согласно уже высказанному ранее условию (88) мы называем силой взаимодействия 
двух точек общее значение обеих сил, взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того, будут ли точки отталкиваться
или притягиваться. Если обе точки совершают произвольное бесконечно малое перемещение, то расстояние между ними изменяется на величину 
и сумма работ обеих сил, приложенных к рассматриваемым точкам, равна (88)
Мы будем для краткости говорить, что это — элементарная работа силы взаимодействия двух точек.
Отсюда следует, что если через 
обозначить силу взаимодействия двух точек 
находящихся на расстоянии 
друг от друга, то сумма элементарных работ внутренних сил равна
где суммирование распространено на все парные комбинации точек системы.
Теорема кинетической энергии может быть теперь написана следующим образом:
Рассмотрим движение системы за конечный промежуток времени 
. В этом движении все величины, входящие в соотношение (1) или (2), суть функции времени. Следовательно, интегрируя от 
до 
получим:
Таким образом, изменение кинетической энергии за промежуток времени 
равно сумме работ всех приложенных к системе сил, как внешних, так а внутренних.
