402. Трение.

В качестве примера движения твердого тела с трением мы рассмотрим следующую задачу.

Рис. 235.

Однородная тяжелая бесконечно тонкая пластинка, имеющая форму равностороннего треугольника со стороной а, положена вершиной на горизонтальную плоскость Р, по которой она скользит с трением, в то время как сторона скользит без трения по горизонтальной плоскости Р, расположенной над первой (рис. 235). В центре тяжести треугольника просверлено бесконечно малое отверстие, через которое проходит неподвижный вертикальный, идеально отполированный стержень 00. Реакцией этого стержня, действующей на треугольник, является горизонтальная сила,

приложенная в Наконец, предполагается, что плоскость треугольника наклонена к вертикали под углом 45°.

В момент треугольнику сообщается угловая скорость вокруг оси в направлении положительного вращения. Требуется найти движение системы и вычислить нормальные реакции плоскостей Р и Р на треугольник. При этом нужно:

1°. Показать, что если начальная угловая скорость имеет некоторое значение то давление плоскости Р на вершину равно нулю.

2°. Указать, что будет происходить в зависимости от того, будет ли меньше или больше и в зависимости от того, может или не может вершина подниматься над плоскостью Р. (Кандидатский экзамен, 1894.)

Обозначим через нормальную реакцию плоскости Р на вершину и заметим, что нормальные реакции плоскости Р на сторону можно привести к двум вертикальным силам и приложенным в точках Эти реакции будем считать положительными при направлении вверх. Примем в качестве осей, связанных с движущимся телом, ось направленную по ось параллельную и ось нормальную к плоскости треугольника и направленную вверх. Тогда уравнение эллипсоида инерции относительно точки имеет вид

Действительно, прежде всего вследствие симметрии плоскость треугольника есть главная плоскость инерции для точки Далее, каждая из плоскостей, проведенных через ось и одну из высот треугольника, является плоскостью симметрии тела, т. е. является также главной плоскостью инерции для точки Следовательно, имеются три главные плоскости инерции, проходящие через ось что возможно только тогда, когда эллипсоид инерции, построенный в точке является эллипсоидом вращения вокруг оси Таким образом, моменты инерции А и В равны между собой. Более того, момент инерции С относительно равен или так как координаты всех точек равны нулю, и поэтому

Легко, кроме того, проверить, что если массу треугольника обозначить через М, то

Точка описывает окружность с центром в точке О в сторону поло жительного вращения вокруг . Тогда сила трения будет приложена в точке будет равна и будет направлена в сторону, противоположную скорости точки т. е. параллельно отрицательному направлению оси

Пусть I — одна треть длины медианы, т. е. Координаты точек относительно осей и проекции сил на эти оси суть

Так как уравнение эллипсоида инерции имеет вид

то момент инерции относительно оси, образующей с осями углы с косинусами равен

Следовательно, момент инерции относительно оси

равен

Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью составляющие которой по осям суть

Так как центр тяжести неподвижен, то, проектируя движение центра тяжести на ось прежде всего имеем

Применим теперь теорему моментов количеств движения относительно оси Так как тело вращается вокруг этой оси с угловой скоростью то сумма моментов количеств движения относительно этой оси есть . С другой стороны, только момент силы трения отличен от нуля и равен Следовательно, имеем

Наконец, уравнение Эйлера относительно оси

вследствие написанных ранее значений приводится к виду

Исключая из уравнений (1) и (3), получим

где обозначает величину , которая в силу значении приводится к виду Заменяя в уравнении его значением (4), получим в качестве уравнения движения:

где через X обозначена постоянная Это уравнение непосредственно

определяет через показательные функции аргумента При его исследовании нужно различать три случая:

1°. Пусть Тогда реакция положительна. При этом, так как все время отрицательно, то постоянно уменьшается и обращается в нуль по истечении промежутка времени

В этот момент треугольник остановится и будет находиться в таких же условиях, как если бы он был предоставлен самому себе без начальной скорости. Он останется неподвижным.

2°. Пусть . Тогда Вращение будет равномерным и треугольник не будет оказывать давления на нижнюю плоскость.

3°. Пусть Тогда будет вначале отрицательным. Это означает, что вершина стремится приподняться. Если эта вершина просто положена на плоскость, то она действительно приподнимется и станет свободной. Тогда мы имеем дело с другой задачей. Можно, однако, дать вершине приподниматься над плоскостью, прорезав, например, в плоскости круглое отверстие и изогнув слегка вершину так, чтобы точка соприкасания была под плоскостью. Тогда реакция будет направлена вниз и ее величина получится из предыдущих уравнений, в которых надо заменить через — Абсолютное значение силы трения будет — и уравнение моментов (2) принимает вид

откуда

Так как то вначале отрицательно, и когда уменьшаясь, стремится к время неограниченно возрастает. Движение стремится превратиться в равномерное вращение с угловой скоростью

Что касается реакций то мы уже получили сумму а для вычисления следует написать уравнение Эйлера для оси

Примечание. Момент инерции С можно вычислить без интегрирования, если заметить, что вследствие однородности для момента инерции равностороннего треугольника со стороной с и массой относительно его центра должно получиться выражение вида где число к подлежит определению. Разобьем треугольник со стороной а и массой М на четыре треугольника с массой — и стороной соединив середины его сторон. Тогда расстояния центров тяжести трех из этих треугольников от центра будут одинаковыми и равными Написав, что момент инерции большого треугольника относительно центра тяжести равен сумме моментов инерции четырех маленьких треугольников, получим

откуда