469. О невозможности охарактеризовать неголономную систему одной только функцией Т.

Когда связи системы без трения могут быть выражены в конечной форме и когда применяют параметры, являющиеся истинными координатами, то можно пользоваться уравнениями Лагранжа. Допустим для простоты, что существует силовая функция . Тогда можно написать уравнения движения, зная выражения кинетической энергии Т и силовой функции через независимые параметры.

Наоборот, если связи не могут быть выражены все в конечной форме, то нельзя больше применять уравнения Лагранжа. Для того чтобы написать уравнения движения, достаточно знать и энергию ускорений составленную из ускорений так же, как Т составлена из скоростей. Но необходимо ли это?

Не могут ли существовать уравнения движения более общие, чем уравнения Лагранжа, применимые во всех случаях и требующие для их составления лишь знания функций Т и Мы сейчас докажем, что такие уравнения не существуют. Для этого укажем две разные системы, обладающие одинаковыми функциями Т и между тем как уравнения движения для них различны.

Первая система. Рассмотрим тяжелое твердое тело, для которого выполняются следующие условия:

1°. Тело оканчивается острым ребром, имеющим форму окружности К радиуса а;

2°. Центр тяжести тела находится в центре окружности К;

3°. Эллипсоид инерции в центре тяжести является эллипсоидом вращения вокруг перпендикуляра к плоскости окружности.

Допустим затем, что такое твердое тело катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, которой оно касается круговым ребром К.

Пусть, как в и. — направленная вверх вертикаль, проведенная через Примем за ось перпендикуляр к плоскости и за ось — перпендикуляр к плоскости . Тогда будет горизонталью плоскости окружности -линией наибольшего ската этой плоскости, упирающейся в точку, в которой эта окружность касается неподвижной плоскости. Обозначим через угол оси с вертикалью и через — угол оси с неподвижной горизонталью. Эти два угла определяют ориентацию триэдра Чтобы зафиксировать положение тела относительно триэдра достаточно знать угол между радиусом окружности К, неизменно связанным с телом, и осью их. Мгновенная угловая скорость тела будет тогда

результирующей двух угловых скоростей: вращения триэдра и вращения с угловой скоростью вокруг оси Следовательно, составляющие будут

С другой стороны, так как окружность К катится, то квадрат скорости центра тяжести равен . В результате, принимая массу тела за единицу и обозначая через А и С моменты инерции относительно осей получим:

откуда окончательные выражения для функций Т и будут:

Вторая система. Рассмотрим теперь другое тяжелое тело такой же формы, такого же радиуса а и той же массы, что предыдущее. Но допустим, что масса распределена иначе, а именно таким образом, что, обозначая через моменты инерции, аналогичные А и С, имеем

Подчиним это тело двум следующим связям: тело касается круговым ребром К неподвижной горизонтальной плоскости по которой оно может скользить без трения; центр тяжести тела скользит без трения по вертикальной неподвижной окружности радиуса а, центр которой О находится на неподвижной плоскости

Чтобы выразить эти связи, примем те же подвижные оси и те же обозначения, что и выше. Обозначим через абсолютные координаты точки относительно двух осей и в плоскости и восходящей вертикали Мы можем предполагать, что вертикальная неподвижная окружность, описываемая точкой лежит в плоскости Тогда имеем:

откуда, очевидно,

При этих условиях

или на основании значений

Мы видим, что функции тождественны. Но вместе с тем уравнения движения различны, так как ко второй системе применимы уравнения Лагранжа, а к первой системе уравнений Лагранжа применить нельзя. Это то, что мы желали показать. Можно заметить, что из трех уравнений движения два уравнения могут быть приведены к одной форме для обеих систем. Действительно, интеграл энергии будет, очевидно, одним и тем же для обеих систем. Кроме того, для первой системы мы имеем право написать уравнение Лагранжа относительно (п. 464), что, очевидно, можно сделать и для второй системы. Но третьи уравнения будут различны для обеих систем; для второй системы имеет место интеграл который не существует для первой.

Само собой понятно, что разница между обоими движениями обнаружилась бы непосредственно, если бы были составлены обе функции и

Замечание о связях, выражаемых нелинейными зависимостями между составляющими скоростей. Рассмотренные до сих пор неголономные связи, такие, как связи качения, выражаются линейными зависимостями между дифференциалами координат, определяющих положение системы. Но можно рассматривать связи более общие, выражаемые нелинейными соотношениями между этими дифференциалами. Принцип, изложенный в п. 468, позволяет исследовать и эти вопросы. (Аппель, Comptes rendus, 8 мая 1911; Rendi-conti di Palermo, 1911.)