475. Теорема Лиувилля.
Лиувилль указал очень распространенный случай, когда уравнения движения интегрируются в квадратурах. Рассмотрим систему без трения, связи которой не зависят 
времени и кинетическая энергия которой выражается в функции параметров 
в виде
где 
являются функциями одного только параметра 
одного только параметра 
Движение этой системы может быть вычислено при помощи квадратур, когда на нее не действуют никакие силы или, в более общем случае, когда действующие на нее активные силы имеют силовую функцию 
вида
где 
зависит только от 
только от 
— только от 
Частный случай этой теоремы был указан в конце первого тома (п. 305).
Метод Якоби дает сразу искомое движение. Переменные 
в рассматриваемом случае определяются равенствами
Определяя отсюда 
и подставляя их значения в Т, найдем для функции 
вследствие однородности Т относительно 
Следовательно, уравнение с частными производными Якоби, если положить
будет иметь вид
Оно имеет полный интеграл вида
где 
зависит только от 
— только от 
— только от 
. В самом деле, подставим это значение 
в предыдущее равенство и отбросим знаменатель. Мы получим уравнение, которое можно написать так:
Первая скобка зависит только от 
вторая — только от 
Так как в уравнении с частными производными эти переменные независимы, то последнее уравнение может быть удовлетворено лишь в том случае, если
каждая скобка в отдельности равна постоянной. Следовательно, мы должны иметь
где 
обозначают постоянные, сумма которых равна нулю, 
этих постоянных 
будут произвольными, и мы имеем
Тогда, интегрируя, получим
Заменяя в выражении (7) функции 
этими значениями, мы получим полный интеграл с 
произвольными постоянными 
Окончательно уравнения движения будут следующие:
Выполняя дифференцирование и применяя соотношение (8), получим
Таким образом, задача разрешена в квадратурах.
Адамар, совершенствуя метод Штауде (Staude), исследовал преобразования этих уравнений для случая, когда интервалы изменения каждого из параметров 
ограничены с двух сторон (Hadamard, Bulletin des Sciences mathematiques, т. XXXV, 1911).
