366. Пример I.

Материальный стержень длины (рис. 206) и массы М скользит без трения по горизонтальной плоскости. Элементы стержня притягиваются неподвижной осью пропорционально массам и расстояниям.

Пусть — координаты центра тяжести стержня — ордината элемента массы . Сила действующая на этот элемент, направлена по и пропорциональна этому расстоянию и массе . Следовательно,

Поэтому дифференциальные уравнения движения центра тяжести будут;

Интегрируя их, найдем

Исключая получим для траектории точки уравнение

где — постоянные. Эта кривая имеет форму синусоиды.

Пусть оси, проведенные из точки параллельно осям угол радиус который считается положительным в направлении от к В и отрицательным в направлении от к А.

Обозначая через х и у новые координаты точки получаем:

Уравнение теоремы момента количества движения, примененной к относительному движению вокруг центра тяжести, будет

где — момент инерции стержня относительно точки Разделяя последнюю сумму на две части, мы видим, что первая Равна нулю, так как подвижное начало совпадает с центром тяжести, а вторая после перехода к полярным координатам

принимает вид

После деления на уравнение обращается в следующее:

Интегрирование и анализ этого уравнения аналогичны интегрированию и анализу уравнения математического маятника, как это видно, если положить

Умножая обе части уравнения движения на и интегрируя, получим:

где — значение угловой скорости при . Если меньше, чем то будут получаться колебания по одну и другую сторону от если же больше, чем то будет происходить полное вращение. При имеем

если отсчитывать от момента, когда равно нулю. В этом случае стержень стремится занять положение, перпендикулярное оси но он никогда не достигнет его, так как стремится к у, когда неограниченно увеличивается.

Колебания, определяемые уравнением (6), названы Тэтом и Томсоном (Natural Philosophy, § 322) квадрантными.

Пример II.

Движение однородного тяжелого круга, который катится без скольжения по прямой, оставаясь все время в вертикальной плоскости, проходящей через эту прямую. Примем за ось заданную прямую, а перпендикуляр к ней, лежащий в вертикальной плоскости и направленный вверх, — за ось Оу (рис. 207). Обозначим через а угол, образуемый осью с горизонтом. Система, состоящая из движущего диска, имеет полные связи. Ее положение зависит только от одного параметра, а именно от угла на который поворачивается диск, или от абсциссы его центра.

Условие качения без скольжения можно осуществить или при помощи нити, натянутой по и намотанной на диск, или снабдив диск и

неподвижную прямую очень малыми зубцами. В некоторых руководствах для того, чтобы выразить, что диск может только катиться по прямой без скольжения, говорят, что прямая является абсолютно шероховатой.

Если мы предположим, что вначале точка В совпадает с точкой О, то согласно предыдущему абсцисса х будет иметь значение

Силы, действующие на диск, суть вес приложенный в его центре С, и наклонная реакция прямой. Уравнение движения мы составим по теореме кинетической энергии. Полная кинетическая энергия равна кинетической энергии всей массы, сосредоточенной в центре тяжести С, сложенной с кинетическои энергией в относительном вращении вокруг центра тяжести с угловой скоростью Мы уже видели что работа реакции равна нулю.

Рис. 207.

Что касается элементарной работы веса, то она равна . Имеем, следовательно,

Заменим его значением , разделим на М и выполним дифференцирование, указанное в левой части. Тогда, разрешая уравнение относительно получим:

Следовательно, центр диска движется равноускоренно по прямой, параллельной оси При этом полученное выражение показывает, что ускорение всегда меньше, чем и даже тогда, когда прямая вертикальна. Во всех предыдущих рассуждениях мы не предполагали, что диск однороден, а предполагали только, что его центр тяжести совпадает с центром фигуры.

Раньше, предполагая диск однородным, мы получили для № значение Тогда уравнение движения будет следующее:

Для вычисления проекций реакции на оси напишем уравнения движения центра тяжести:

Заменяя его значением и замечая, что равно нулю, получим:

Следовательно, реакция постоянна.

Пример III.

Движение по наклонной плоскости двойного конуса, кажущегося поднимающимся, хотя в действительности он опускается (Rеsа1, Comptes rendus, т. CXI, стр. 547). Даны две прямые и одинаково наклоненные к горизонту и образующие между собой угол вершина которого находится внизу. На эти прямые положено тело, образованное двумя однородными, одинаковыми конусами, соединенными основаниями таким образом, что плоскость оснований совпадает с вертикальной плоскостью (рис. 208), проведенной через биссектрису угла

Рис. 208.

Требуется найти движение двойного конуса в предположении, что он может катиться без скольжения по обеим прямым и Примем плоскость фигуры за вертикальную плоскость, проведенную через биссектрису угла и выберем ось по вертикали вверх и ось горизонтально. Обе прямые и служащие направляющими для двойного конуса, проектируются на плоскость чертежа по оси обе точки, в которых конус касается этих направляющих, проектируются в точку Т; наконец, вершины обоих конусов проектируются на ту же плоскость в одну точку С, так как весь прибор симметричен относительно плоскости

Касательные плоскости к обоим конусам, проведенные соответственно через направляющие и образуют с горизонтальной плоскостью постоянные углы и вследствие этого неподвижны. Эти две плоскости пересекаются по неподвижной прямой От. Чтобы двойной конус казался

поднимающимся, когда он предоставлен самому себе без начальной скорости, необходимо, чтобы прямая От была расположена под прямой (как на чертеже). Мы обозначим через I угол, который образует эта прямая с горизонтом. Основание обоих конусов является окружностью, постоянно касающейся прямой От. Центр С этого основания, который одновременно является центром тяжести прибора, описывает прямую параллельную От.

Если рассматривать плоскую фигуру, образованную основанием, движущуюся в плоскости то ее мгновенный центр вращения находится в точке Т, так как тело катится по обоим направляющим. Прямая длину которой мы обозначим через является, следовательно, нормалью к траектории точки С, т. е. к прямой Обозначим через длину через — угол, на который конус повернулся от некоторого определенного положения. Тогда угловая скорость вращения системы равна а скорость точки С будет такой, как если бы система вращалась с этой угловой скоростью вокруг мгновенного центра Т, а именно:

За промежуток времени точка С приходит в С, а Т в Прямые и параллельны, так как они нормальны к прямой равно Если через провести прямую параллельную то будет равно Следовательно, в прямоугольном треугольнике угол при вершине С постоянен и равен углу . Обозначим его через X, имеем:

Установив эти геометрические соотношения, применим теорему кинетической энергии. На основании теоремы Кёнига кинетическая энергия равна

где — момент инерции конусов относительно их оси. Имеем, следовательно,

так как сумма элементарных работ реакций связей равна нулю, а элементарная работа веса на основании равенства (2) есть

Обозначим через начальное значение и проинтегрируем обе части, предполагая, что начальная скорость, т. е. начальное значение равно нулю. Мы получим:

Наконец, заменяя его значением , полученным из равенства (2), и обозначая через постоянную , напишем

Так как начиная с должно уменьшаться, как это очевидно геометрически и как это видно из того, что подкоренное количество должно быть положительным, то нужно брать знак минус. Окончательно

Таким образом, выражено через при помощи эллиптического интеграла. Когда стремится к нулю, неограниченно возрастает. Центр тяжести стремится к предельному положению А, никогда его не достигая. На основании соотношений (2) имеем:

где через 0 обозначен угол поворота тела, отсчитываемый от начального положения. Далее из равенства (2) получаем:

Эта последняя формула позволяет преобразовать соотношение (4) в зависимость между и . Таким путем получится формула, определяющая движение центра тяжести С по прямой

Скорость V центра тяжести определяется, как это видно из равенства (3), соотношением

Эта скорость обращается в нуль в начальном положении при и в конечном положении при Следовательно, в этом промежутке она проходит через максимум, который легко вычислить.

Движение основания конусов в плоскости можно получить, заставляя катиться логарифмическую спираль по прямой Это вытекает из предыдущих уравнений. См. статью Мангейма (Mannheim, Сошрtes rendus, 3 ноября 1890), статью Сен-Жермена (Saint-Germain, Comptes rendus, 1891) и статью Флёри (F1еигу, Nouvelles Annales июнь 1854).

В упражнении 10 можно будет найти указания для решения аналогичной задачи, в которой двойной конус будет заменен шаром.

Рис. 209.

Пример IV. Эллиптический маятник. Так называется система двух тяжелых точек связанных между собой неизменяемым невесомым стержнем, из которых одна, М, движется без скольжения по горизонтальной прямой а другая, должна оставаться в вертикальной плоскости (рис. 209).

Примем за ось у какую-нибудь вертикаль, направленную вниз.

Силами, действующими на точку М, являются: ее вес нормальная реакция оси и натяжение Т стержня на точку действуют натяжение — Т и вес Эти силы можно разделить на внутренние силы и внешние или также на заданные силы и на реакции связзй .

Положение системы зависит только от двух параметров: от абсциссы х точки М и от угла между и вертикалью. Следовательно, для определения движения достаточно двух уравнений, не содержащих реакций связей.

Первое из этих уравнений мы составим по теореме движения центра тяжести сумма проекций внешних сил на ось х равна иулю. Следовательно,

Таким образом, движение проекции центра тяжести на ось происходит равномерно, что дает первое уравнение

Так как связи не зависят от времени и осуществляются без трения, то по теореме кинетической энергии, принимая во внимание, что работа веса равна нулю, имеем:

Легко проверить, что сумма работ реакций связей равна нулю. Действительно, сила остается нормальной к перемещению ее точки приложения, а сумма работ сил натяжений равна нулю вследствие условия, что точки М и должны оставаться на неизменном расстоянии.

Если проинтегрировать предыдущее уравнение, то получится

Уравнения (2) и (3) определяют движение.

Исследуем подробно случай, когда начальная скорость центра тяжести, вертикальна или равна нулю. Уравнение (1) показывает, что эта точка опишет тогда вертикаль. Приняв ее за ось у, найдем, что Тогда движение геометрически описывается следующим образом: точки и остаются на неизменных расстояниях; две из них, и М, описывают две взаимноперпендикулярные прямые следовательно, третья точка перемещается по эллипсу, для которого эти прямые являются осями. Полагая

получим:

Следовательно, координатами точек и являются

Чтобы вычислить в функции достаточно внести эти значения в уравнение (3), где

Таким образом, после некоторых приведений получится:

где Отсюда найдется в функции при помощи одной квадратуры.

Начальные условия влияют только на величину k. Выражение для показывает, что нужно рассмотреть два случая в зависимости от того, будет ли коэффициент больше или меньше +1. Но он всегда больше, чем так как в начальный момент будет обязательно вещественным.

В первом случае может изменяться от 0 до и движущаяся точка будет периодически описывать полный эллипс. Во втором случае эта точка будет колебаться между положениями, соответствующими значениям , обращающим в нуль величину . Особый случай имеет место при Тогда стержень выходя из некоторого начального положения, перемещается, стремясь к вертикали, направленной в сторону отрицательных у, но никогда ее не достигает (рассуждения такие же, как для математического маятника).

Вернемся к общему случаю, когда проекция скорости центра тяжести на ось х есть величина постоянная, отличная от нуля, и исследуем относительное движение по отношению к осям из которых ось все время проходит через центр тяжести вследствие чего эта система осей совершает равномерное поступательное движение параллельно оси Относительное движение будет таким же, как если бы оси были неподвижны (п. 334) и центр тяжести имел вертикальную скорость. Это движение мы только что изучили (рис. 209).

Чтобы закончить исследование, надо вычислить еще натяжения Т и -Т стержня, а также реакцию неподвижной оси

Одно из уравнений движения точки есть

Но мы имеем:

Кроме того, по теореме кинетической энергии мы имели уравнение

После дифференцирования по оно превращается в следующее:

Подставляя значения и в получим:

Тогда на основании уравнения (4) найдем:

Зная Т, найдем сразу же из условия того, что точка М движется по оси

Отсюда

Пример V.

Задача. Найти движение системы, образованной двумя однородными тяжелыми стержнями и одинаковой длины и одинаковой массы, связанных невесомыми нитями одинаковой длины, причем стержень вращается вокруг своей середины О, а вся система движется в неподвижной вертикальной плоскости (рис. 210).

Положение системы зависит от двух параметров: от угла наклона стержня относительно вертикали и от угла который образует прямая 00, соединяющая середины обоих стержней с этой вертикалью. Система находится под действием весов обоих стержней, натяжений Т и Т нитей и реакции неподвижной точки О. Для определения движения необходимы два уравнения, не содержащие реакций связей. Эти уравнения получатся из теоремы кинетической энергии и теоремы момента количества движения относительно нормали к плоскости фигуры в точке О.

Рис. 210.

Применим сначала теорему кинетической энергии. Так как длина нитей предполагается неизменной, то работы натяжений попарно уничтожаются; работа веса стержня так же как и реакции точки О, равна нулю; что касается элементарной работы веса стержня то она имеет значение

С другой стороны, кинетическая энергия стержня равна а кинетическая энергия стержня равна его кинетической энергии в относительном движении вокруг центра тяжести О, увеличенной на кинетическую энергию его массы М, сосредоточенной в точке О, т. е. на Следовательно, имеем:

Разделив на и выполнив дифференцирование, получим:

Переходим теперь к теореме момента количества движения, примененной ко всей системе. С помощью вычислений, аналогичных предыдущим, получим

для суммы моментов количеств движения относительно оси нормальной к плоскости, значение

Сумма же моментов сил равна и мы имеем:

что мы напишем в виде

Умножим это уравнение на и сложим с уравнением (1) кинетической энергии. Получим:

Величина не может быть постоянно равна нулю, так как в начале движения она имеет произвольное значение и, следовательно,

Стержень вращается равномерно. Из уравнения (II) получаем теперь

т. е. получаем уравнение движения математического маятника. Точка О движется, следовательно, так, как если бы не существовало стержня и она была бы непосредственно связана с точкой О невесомой нитью.

Для вычисления реакций связей применим сначала теорему момента количества движения к стержню беря моменты относительно той же оси, что и раньше. Это нам даст

Так как равно нулю, а натяжения параллельны, одинаково направлены и находятся на одинаковых расстояниях по ту и другую сторону от начала координат, то они должны быть равны между собой:

Применим теперь теорему движения центра тяжести к стержню Его середина О перемещается так, как если бы на нее непосредственно действовала сила веса стержня и два одинаковых натяжения Г и Г, перенесенных в эту точку. С другой стороны, движение этой точки такое же, как если бы она имела массу М и была связана с точкой О невесомой нитью. Следовательно, сумма сил натяжения должна равняться реакции нити при движении математического маятника длины и массы М, так что

где а — постоянная, зависящая от начальных условий.

Теперь, зная натяжение Т, мы найдем реакцию точки О, написав, что эта точка, рассматриваемая как центр тяжести стержня остается неподвижной. Тогда получится, что реакция должна находиться в равновесии с равнодействующей веса и с направленной вдоль суммой обоих натяжений, приложенных в точках А и В.