361. Постоянные и свободные оси вращения.

Вернемся теперь к случаю, когда ось вращения произвольна, и допустим сначала, что заданные силы имеют равнодействующую, проходящую через точку О. Тогда

и уравнения примут вид

где (в — угловая скорость вращения, которая в рассматриваемом случае постоянна, так как

Исследуем, может ли получиться, чтобы при указанных условиях реакция в точке О" обратилась в нуль. Для этого необходимо, чтобы было

т. е.

или чтобы ось вращения была главной осью инерции относительно точки О. Допустим, что эти условия выполнены. Тогда реакция в точке О" будет равна нулю и эта точка не будет оказывать никакого действия на тело. Ее можно в таком случае отбросить, т. е. сделать тело свободным в точке ничего не меняя в характере движения. Можно, следовательно, высказать такую теорему:

I. Если твердое тело, движущееся вокруг неподвижной точки, подвергается действию внешних сил, имеющих равнодействующую, проходящую через эту точку, и если тело начинает вращаться вокруг оси инерции главной для закрепленной точки, то оно будет продолжать неограниченно вращаться вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью.

Вследствие такого свойства главных осей инерции их иногда называют постоянными осями вращения.

Допустим теперь, что к телу не приложено никаких заданных сил. В вышенаписанных уравнениях (2) будет

Может ли случиться, чтобы реакция в точке О обращалась в нуль одновременно с реакцией в точке Чтобы это осуществить,

необходимо к предыдущим условиям добавить уравнения

Тогда ось вращения будет главной центральной осью инерции (п. 319). Мы можем, следовательно, высказать следующее предложение:

II. Если совершенно свободное твердое тело, на которое не действуют никакие внешние силы, начнет вращаться вокруг одной из главных центральных осей инерции, то оно будет продолжать вращаться вокруг этой оси и притом равномерно.

Благодаря этому свойству главным центральным осям инерции дано наименование свободных осей вращения.

Примечание. Предыдущие результаты могут быть обобщены следующим образом:

1°. Допустим, что задаваемые силы приводятся к силе проходящей через точку О, и к паре, вектор момента которой направлен по оси Тогда угловая скорость не будет постоянной и для определения реакций нужно будет обратиться к уравнениям (1), положив в них

Опять необходимыми и достаточными условиями равенства нулю реакции в точке О" будут равенства:

В самом деле, эти условия будут:

т. е. будут линейными однородными уравнениями относительно определитель которых отличен от нуля, если только тело находится в движении. Следовательно, для получаются значения, равные нулю.

2°. Точно так же, если предположить, что заданные силы, приложенные к телу, приводятся к одной паре с вектором момента, параллельным оси то для того, чтобы обе реакции в точках равнялись нулю, необходимо и достаточно, чтобы ось была главной центральной осью инерции.