329. Теорема площадей.
Допустим, что сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равна постоянно нулю. Приняв эту ось за ось 
из предыдущей теоремы получим:
т. е. сумма моментов количеств движения относительно этой оси будет тогда постоянной. Говорят также, что для проекции движения на плоскость, перпендикулярную к этой оси, справедлива теорема площадей.
Спроектируем (рис. 184) движущиеся точки 
на плоскость 
перпендикулярную к оси. Получим точки 
Обозначим через 
площади, описываемые радиусами-векторами 
Имеем:
и поэтому
Уравнение (4) напишется теперь так:
После интегрирования имеем:
Следовательно, сумма произведений описываемых площадей на соответствующие массы изменяется пропорционально времени. Постоянная площадей С представляет собой удвоенное изменение величины 
единицу времени.
Рис. 184.
Если, в частности, на систему не действуют никакие внешние силы, то закон площадей можно применить к проекции движения на любую плоскость, причем относительно любой точки этой плоскости.
Это имеет место для солнечной системы, если пренебречь действием звезд.
Теорема площадей, несмотря на то, что она является непосредственным следствием законов Ньютона, была сформулирована значительно позднее Эйлером, Дарси и Даниилом Бернулли (1746).
Приложение к живым существам. Если предыдущую теорему приложить к наблюдателю, стоящему на гладкой горизонтальной плоскости, то можно видеть, что закон площадей имеет место относительно любой точки этой плоскости. В самом деле, внешние силы — вес и реакции плоскости, действующие на наблюдателя, все вертикальны и сумма их моментов относительно любой вертикальной оси 
равна нулю; следовательно, уравнение (4) имеет место, какова бы ни была точка О на горизонтальной плоскости. Если наблюдатель был
вначале неподвижным, то величины и 
равны вначале нулю 
Если затем наблюдатель пожелает двигаться, то вследствие равенства постоянной С нулю ни одна часть его тела не сможет повернуться в каком-нибудь направлении без того, чтобы какая-нибудь другая часть не повернулась в обратном направлении (Делоне). Но следует отметить, что, несмотря на это условие, наблюдатель, вначале неподвижный на плоскости, может при помощи последовательных движений различных частей своего тела оказаться в конечном положении, получаемом из начального, поворотом всего тела вокруг вертикали, проходящей через его центр тяжести. Возможность таких движений вытекает из примеров, которые мы рассмотрим ниже, а именно из примеров 3° и 4° пункта 333.
