451. Малые колебания, вызванные периодической возмущающей силой.

Рассмотрим такую же систему, как и та, для которой мы только что исследовали малые колебания около положения устойчивого равновесия, соответствующего

Предположим, что к основным силам системы, имеющим силовую функцию которая в положении равновесия обращается в равный нулю максимум, прибавляются во время движения очень малые возмущающие силы, являющиеся функциями времени и в общем случае также функциями параметров и их производных.

Обозначим через ту силу, которая действует на точку с координатами Тогда на основании общей теории уравнений Лагранжа, если положить

уравнения движения будут

Мы предположим, что и приведены к тем же квадратичным формам, что и выше.

Возмущающие силы, будучи независимыми от тех, которые определяют равновесие, не будут в общем случае обращаться в нуль в положении равновесия, и поэтому разложение по степеням и их производных будет содержать член, не зависящий от этих переменных, по отношению к которому последующие члены могут рассматриваться как малые величины, которыми можно пренебречь. Величины будут тогда функциями только времени. Мы будем их предполагать периодическими.

Уравнения движения (10) не будут, как прежде, линейными без правых частей, а будут теперь иметь в качестве правых частей периодические функции R. Эти функции могут быть разложены в ряд по синусам и косинусам

где постоянные. Мы будем говорить, что каждый член в представляет собой простую возмущающую силу: первый — возмущающую силу с периодом второй — возмущающую силу с периодом и т. д.

Допустим для простоты, что в качестве выбраны главные координаты. Тогда, как мы видели, приближенные значения для Т и будут

и уравнения возмущенного движения будут иметь вид

Общие интегралы этих уравнений будут иметь различную аналитическую форму в зависимости от того, будет ли одна из величин равна или нет.

Допустим сначала, что ни одна из величин не равна ни одному из корней Тогда общие интегралы уравнений (11) будут иметь вид

где — произвольные постоянные. Следовательно, в этом случае простая возмущающая сила, соответствующая слагаемому

в выражении вводит в систему вынужденное колебание

период которого равен периоду силы, а амплитуда не зависит от начальных условий, которые влияют только на постоянные Если а близко к т. е. если период — простои возмущающей силы близок к периоду одного из собственных колебаний системы, предоставленной самой себе, то коэффициент становится большим числом и амплитуда колебания, вводимого этой возмущающей силой, становится значительной. Это замечание дает возможность предугадать, что произойдет, когда одна из величин будет равна одному из корней .

Допустим, например, что а равно но отлично от и ни одна из величин не равна ни одному из корней Тогда общие интегралы уравнений (11) для сохранят найденную выше форму (12), но первое уравнение

в котором будет иметь интегралом

Следовательно, в члене интеграла, соответствующем возмущающей силе, период которой равен периоду одного из собственных колебаний системы, время имеется в качестве множителя. Таким образом, когда период одной из возмущающих сил стремится к периоду одного из простых собственных колебаний системы, амплитуда вынужденного колебания становится все больше и больше. В пределе вынужденное колебание сливается с соответствующим собственным, а амплитуда колебаний, пропорциональная неограниченно возрастает, или, по крайней мере, выходит за пределы, в которых линейное приближение уравнений можно считать достаточным.

Эта теорема объясняет многие явления, называемые резонансом, например: возбуждение колебаний струны, когда воздух колеблется в унисон; избирательное поглощение световых и тепловых лучей средой, способной воспроизводить лучи, имеющие волну той же длины, и т. д.

Другое важное приложение встречается в возмущениях движения локомотивов. Масса машины, которую несут рессоры, образует систему, подверженную колебаниям определенного периода т. Возмущающие сила, происходящие от инерции движущихся частей, поршней, шатунов, кривошипов, дают сумму проекций или моментов, имеющих главным периодом продолжительность одного оборота колеса. Поэтому соответствующие возмущения должны проходить через максимум амплитуды, когда скорость локомотива такова, что его колеса делают один оборот за промежуток времени, равный периоду колебания. (Viсаiге, Comptes rendus, т. CXII, стр. 82.)