327. Примеры.

1°. Отсутствие внешних сил. Наиболее простое предположение, которое мы можем сделать, это то, что на систему не действуют никакие внешние силы. Тогда центр тяжести системы будет совершать прямолинейное и равномерное движение. Если, например, считать, что действия звезд на солнечную систему равны нулю, то центр тяжести этой системы, который расположен весьма близко от Солнца, будет совершать прямолинейное и равномерное движение.

2°. Тяжелая система в пустоте. Рассмотрим теперь систему тяжелых точек, брошенных в пустоте. Каковы бы ни были деформации и внутренние связи системы, ее центр тяжести будет описывать параболу с вертикальной осью. Действительно, различные внешние силы вертикальны; если их перенести в центр тяжести, то они будут иметь равнодействующую следовательно, центр тяжести будет двигаться как тяжелая точка массы Например, если в пустоте брошена бомба и она в некоторый момент времени

взрывается, то центр тяжести осколков будет продолжать описывать ту же самую параболу, так как силы, возникающие при взрыве, являются внутренними. Точно так же, если живое существо движется в пустоте под действием только веса, то его центр тяжести будет описывать параболу и мышечные усилия, которые оно будет производить, не изменят траектории его центра тяжести, так как эти усилия являются внутренними силами.

3°. Притяжение, пропорциональное расстоянию. Возьмем еще систему материальных точек, притягиваемых неподвижным центром О пропорционально массам и расстояниям Внешние силы суть центральные силы притяжения Перенесем эти силы в центр тяжести Тогда, как мы видели в статике, их равнодействующая будет направлена вдоль и будет иметь значение Следовательно, центр тяжести перемещается как материальная точка, притягиваемая точкой О пропорционально расстоянию; она описывает эллипс с центром в точке О.

Примечание. В двух предыдущих примерах мы смогли определить движение центра тяжести, ничего не зная ни о связях, ни о внутренних силах. Это оказалось возможным вследствие того, что в указанных случаях правые части уравнений (3) зависят только от . Тогда можно выполнить интегрирование этих уравнений, не зная других уравнений движения. В общем случае так получаться не будет. Правые части уравнений (3) будут зависеть от координат всех точек системы, и эти уравнения дадут лишь только некоторое представление о движении. Такой случай имеет место, например, в задаче о движении двух точек, притягивающих друг друга и притягиваемых неподвижным центром по закону Ньютона. Равнодействующая внешних сил, перенесенных в центр тяжести, зависит в этом случае не только от координат центра тяжести, но и от координат самих точек.

4°. Ходьба (Делоне, Механика — Delaunay, Mecanique). Как мы уже указывали на примере, теорема о движении центра тяжести распространяется и на живые существа. Возникающие при сокращении мышц мускульные усилия являются внутренними силами, попарно равными и прямо противоположными; следовательно, они не оказывают никакого влияния на движение центра тяжести. Поэтому только при помощи внешних тел живое существо может изменить движение своего центра тяжести. Вообразим, например, наблюдателя, стоящего на идеально отполированной горизонтальной плоскости. Все внешние силы, действующие на тело наблюдателя, — вес и нормальные реакции плоскости, вертикальны. Если наблюдатель был вначале неподвижным, а затем пожелал двигаться, то его центр тяжести движется как материальная точка, вначале неподвижная и находящаяся под действием вертикальной силы. Эта точка описывает неподвижную вертикальную прямую, и следовательно, мускульные усилия не изменяют положения горизонтальной проекции центра тяжести, который может лишь подниматься или опускаться. Ходьба в этом случае невозможна. Она становится возможной лишь благодаря трению. Если на негладком грунте человек, сначала неподвижный, заносит вперед одну ногу, то вторая нога стремится отодвинуться назад для того, чтобы горизонтальная проекция центра

тяжести не изменилась. Но вторая нога не может отодвинуться назад иначе, как скользя по грунту. Благодаря этому возникает реакция, отклоненная от вертикали вследствие трения о грунт и направленная вперед. Эта реакция, перенесенная параллельно самой себе в центр тяжести, определяет его движение вперед.

5°. Отдача огнестрельного оружия. Рассмотрим направленное горизонтально орудие массы М. Пусть — масса снаряда и — масса частицы пороха. До сгорания пороха скорость центра тяжести равна нулю. Она должна оставаться такой же и непосредственно после сгорания пороха, так как единственными развивающимися силами будут внутренние, поскольку действие веса и пассивных сопротивлений в течение весьма короткого периода горения можно считать равным нулю. Следовательно, обозначив через и абсолютные значения начальных скоростей орудия, снаряда и частицы получим:

гак как знаки скоростей снаряда и частиц пороха, очевидно, противоположны знаку скорости орудия. Знак обозначает суммирование, распространенное на все частицы заряда. Так как скорость неизвестна и масса заряда не достигает четверти массы то можно приближенно принять равным среднему алгебраическому Таким путем получаем уравнение

определяющее отношение скоростей V и

6°. Упражнение. На идеально отполированную горизонтальную плоскость положена прямолинейная соломинка длины 11 и массы (рис. 183).

Рис. 183.

Насекомое М той же массы, рассматриваемое как точка, находилось вначале неподвижно на конце А. В момент оно начало перемещаться от А к В, совершая вдоль равноускоренное движение Каково движение системы?

Так как единственными внешними силами являются вес и нормальные реакции горизонтальной плоскости, то горизонтальная проекция центра тяжести остается неподвижной. Более того, из соображений симметрии очевидно, что соломинка будет перемещаться только вдоль своего первоначального направления. Примем это направление за ось обозначим через координату середины С отрезка и координату точки М и пусть — значения этих координат в момент Имеем:

Так как

то, следовательно, получим:

Реакция соломинки на насекомое получается сразу; обозначив эту реакцию через X и написав уравнение движения точки М, получим: