370. Пример I.

Однородный круглый тяжелый диск, находящийся в вертикальной плоскости (рис. 207), поставлен на неподвижную прямую наклоненную к горизонту под углом а, и предоставлен самому себе без начальной скорости. Предполагается, что имеется трение и спрашивается, будет ли диск катиться или скользить.

Допустим, что имеется качение. Тогда нужно будет разрешить вторую задачу п. 366, где, как мы видели, нормальная реакция прямой на диск оказалась равной , а касательная реакция была равна .

Для того чтобы качение было возможно, необходимо, чтобы эта касательная реакция была меньше, чем т. е. чтобы

где коэффициент трения. Если это условие не выполняется, то качение без скольжения невозможно; диск будет скользить, одновременно вращаясь.

Исследуем задачу при этом новом предположении. Теперь реакция прямой на диск имеет нормальную составляющую и касательную составляющую направленную вдоль . Угол и абсцисса центра тяжести (рис. 207) не связаны больше никаким геометрическим соотношением, так как движение не является чистым качением. Уравнения движения центра тяжести имеют вид

Следовательно, нормальная реакция постоянна. Подставляя ее значение а в первое уравнение, получим:

Правая часть имеет значение постоянное и положительное в силу предположения, что Так как по условию диск вначале находится в покое, то

Применим теперь теорему моментов к относительному движению вокруг центра тяжести. Мы имеем:

Так как и диск вначале покоится, то отсюда получаем:

Для проверки обозначим через и скорость точки диска, находящейся в А. Эта скорость является результирующей скорости от вращения вокруг центра тяжести и скорости поступательного движения вместе с ним:

На основании предыдущих уравнений находим:

Эта скорость в силу условия положительна и никогда не обращается в нуль. Скольжение будет происходить все время.

Если нет трения, то диск, предоставленный самому себе, будет скользить без качения.