Сохраняемость безвихревого движения

Большое значение имеет частный случай течения, в котором в некоторый начальный момент времени циркуляция по любому стягиваемому замкнутому контуру в жидкости равна нулю. Как было показано в § 2.7, движение жидкости, для которого циркуляция по любому стягиваемому замкнутому контуру внутри определенной области равна нулю, является безвихревым в этой области. Согласно (5.3.1), циркуляция по любому из этих замкнутых контуров, рассматриваемых как жидкие, остается нулевой и во все последующие моменты времени. Таким образом, в том же самом объеме жидкости движение будет безвихревым в последующие моменты времени, т. е. некоторый объем невязкой жидкости, находящейся в безвихревом движении, остается безвихречым. Этим общим свойством безвихревых движений прежде всего объясняется их большое значение в механике жидкостей и повсеместное их распространение (правда, с некоторым приближением, поскольку реальные жидкости нельзя считать совершенно невязкими). Мы можем, например, утверждать, хотя это и тривиально, что если движение невязкой жидкости начинается из состояния покоя (как и большинство реальных движений), то оно будет обязательно оставаться безвихревым, поскольку начальное состояние было безвихревым.

Условия, при которых безвихревое движение остается безвихревым, в точности совпадают с условиями, при которых справедлива теорема Кельвина о циркуляции. В частности, необходимо подчеркнуть, что в обоих этих случаях речь идет о жидком объеме, а не о жидкости, занимающей фиксированную часть пространства.

Мы можем также, исходя из (5.3.2), показать, что завихренность некоторого жидкого элемента остается равной нулю, если она была нулевой в начальный момент времени (и таким образом снова получить, что любой объем жидкости, совершающий безвихревое движение, будет все время совершать такое движение). Для этого совсем недостаточно утверждать, что если в начальный момент, то из равенства в силу (5.3.2)

в начальный момент следует равенство нулю завихренности со; как отметил Стоке здесь требуется более полное доказательство, подобное, например, следующему. Из (5.3.2) имеем

где Тогда, если К — наибольшее положительное значение выражения при движении рассматриваемого жидкого элемента в интервале времени от до t, то решение уравнения (5.3.10) будет удовлетворять неравенству

При условии отсюда следует когда конечно. Подобное ограничение на величину градиента скорости, как отмечалось в § 3.1 при обсуждении скорости изменения интегралов по переменному объему, имеется и в доказательстве сохраняемости безвихревого движения с использованием (5.3.1). Соотношения (5.3.4), (5.3.7) или (5.3.9) показывают также, что коэффициент усиления завихренности жидкого элемента за определенный интервал времени конечен и, следовательно, завихренность остается равной нулю, если она равна нулю в начальный момент и если растяжение элемента жидкости остается конечным.