6. ТЕОРИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

6.1. Роль теории течения невязкой жидкости

Изучение основных эффектов вязкости жидкости мы закончили, и теперь можно воспользоваться тем, что коэффициенты вязкости наиболее распространенных жидкостей — воздуха и воды — весьма малы. Обычно число Рейнольдса (в обозначениях, принятых в § 4.7) представляет собой меру отношении характерных величин сил инерции и сил вязкости; если это число велико по сравнению с единицей, то силы вязкости часто играют малую роль в уравнении движения почти во всем поле течения. Во многих случаях, в которых отрыва пограничного слоя от твердой границы не происходит, поле течения стремится к предельной форме, соответствующей течению невязкой жидкости при во всей области, занимаемой жидкостью; тот факт, что силы вязкости остаются значительными в некоторых тонких слоях жидкости, каким бы большим ни было число Рейнольдса, во многих отношениях почти не имеет значения. Однако в тех случаях, когда пограничный слой отрывается от твердой границы, стремление к предельной форме становится сингулярным и, хотя размер области жидкости, в которой силы вязкости оказываются значительными, стремится к нулю, по мере того как предельная форма поля течения не совпадает с полем течения, полностью соответствующим, с математической точки зрения, невязкой жидкости. Такое сингулярное предельное поведение течения возможно из-за того, что величина вязкости входит в уравнение движения как коэффициент при производной высшего порядка и что вязкая жидкость должна удовлетворять дополнительному условию прилипания на твердой границе, какой бы малой ни была сама вязкость.

Таким образом, теоретические результаты для течений невязкой жидкости можно непосредственно применить к классу течений вязкой жидкости, в которых не происходит отрыва пограничного слоя; в данном случае теория невязкой жидкости дает хорошее приближение к течению реальной жидкости при большом числе Рейнольдса (при одних и тех же начальных и граничных условиях)

во всей области течения, за исключением тонких слоев, толщина которых стремится к нулю при и положение которых известно из решения для невязкой жидкости. Анализ течения невязкой жидкости математически намного проще, чем анализ течения вязкой жидкости, и поэтому крайне важно знать, применима ли теория невязкого течения; мы должны уметь это предсказать на основании наблюдения или с помощью общих результатов, а не путем проведения подробного расчета. Точнее говоря, мы должны уметь сказать на основании наблюдения, будет ли течение реальной жидкости при заданных начальных и граничных условиях сопровождаться отрывом пограничного слоя. Если отрыв не возникает, то можно применить многочисленные результаты теории невязкой жидкости. Такая необходимость в предварительном знании того, как повела бы себя жидкость с ненулевой вязкостью в данных условиях, требует глубокого понимания свойств течения вязкой жидкости, прежде чем можно будет выяснить уместность и полезность теории невязкой жидкости; по этой причине теория невязкой жидкости, несмотря на ее простоту, расположена в книге после изучения течения вязкой жидкости.

Даже в тех течениях реальной жидкости, в которых возникает отрыв пограничного слоя, в потоке существуют большие области, в которых вязкость жидкости локально не оказывает большого влияния и к которым может быть применена теория невязкой жидкости. Однако в этих случаях существует трудность, заключающаяся в том, что положение и форма оторвавшегося пограничного слоя в течении реальной жидкости, как правило, неизвестны, так что, хотя локально влияние вязкости всюду пренебрежимо мало, за исключением окрестности некоторых сингулярных поверхностей (часть из которых расположена внутри жидкости), форма границы области эффективно невязкого течения неизвестна и вообще не может быть определена исходя из рассмотрения полностью невязкой жидкости. Поэтому возможности приложения теории невязкой жидкости в этих случаях ограничены. Более того, как уже упоминалось ранее, оторвавшиеся пограничные слои всегда неустойчивы по отношению к малым возмущениям и в течении появляются турбулентные пульсации. Влияние турбулентных пульсаций скорости может и не распространяться непосредственно на все течение (так, например, течение вблизи передней критической точки на плохообтекаемом теле, движущемся с постоянной скоростью через жидкость и образующем за собой турбулентный след, может быть вполне установившимся), хотя именно ненулевой средний поток количества движения, обусловленный турбулентностью, влияет на конфигурацию течения в целом; при этом остается справедливым замечание о том, что определенные области течения стационарны и в них вязкость жидкости локально не оказывает никакого влияния, хотя посредством строгого

расчета невозможно определить форму границ ни одной из этих областей и условия на этих границах, и часто приходится прибегать к различным предположениям и накопленному опыту.

В этой и следующей главах будут изучаться различные свойства течения жидкости в предположении, что она является полностью невязкой (и несжимаемой). Получаемые при этом результаты имеют значение только в связи с тем, что они представляют собой некоторое приближение к свойствам течения реальной жидкости при больших числах Рейнольдса, и ограничения, налагаемые на каждый результат, следует рассматривать как такую же важную информацию, как и сам результат.

Эта глава посвящена частному случаю безвихревого течения. Хотя может показаться, что свойство течения быть безвихревым весьма специфично, оно приобретает большое практическое значение благодаря следствию из теоремы Кельвина о циркуляции (§ 5.3), состоящему в том, что элементы однородной жидкости, приведенные в движение из состояния покоя, движутся далее без вращения до тех пор, пока они не попадут в область, где силы вязкости оказываются существенными. Надлежащее понимание теории безвихревого течения и оценка ее многочисленных приложений необходимы во всех разделах гидродинамики. Глава 7 посвящена более общей ситуации, в которой существенную роль играет либо локализованная, либо распределенная завихренность. Примеры полей течения без твердых границ приводятся в обеих главах, поскольку такие поля дают широкий простор для приложения теории невязкой жидкости. Рассматриваются также безвихревые течения со свободной поверхностью, хотя вопрос о волнах на тяжелой жидкости, требующий отдельного подхода, в книге опущен. Теория подъемной силы, создаваемой тонкими телами, движущимися в жидкости, — одна из научных основ аэронавтики, — излагается в § 6.7 и 7.8; в них применение теории невязкой жидкости становится возможным благодаря использованию простых правил, основанных на соображениях из гл. 5 относительно возникновения и последующего влияния отрыва линий тока на поверхности тела. Специфические динамические свойства жидкости при ее вращении как целого описаны в гл. 7 наряду с некоторыми проявлениями их в геофизике.

Наконец, вспомним уравнения, которые описывают движение невязкой жидкости и на которых будет основан материал, излагаемый в гл. 6 и 7.

Мы будем по-прежнему считать жидкость несжимаемой (условия справедливости этого предположения были рассмотрены

в § 3.6), так что уравнение сохранения массы имеет вид

и будем предполагать, что плотность одинакова всюду в жидкости.

Будем считать, что массовая сила, действующая на жидкость, есть сила тяжести, так что . В некоторых полях течений жидкость будет иметь свободную поверхность, и в таких течениях сила тяжести влияет на распределение скорости.

Для невязкой жидкости касательные напряжения всюду в жидкости равны нулю, тензор напряжений сводится к уравнение движения записывается в виде

Если задана величина то две переменные находятся как функции из уравнений (6.1.1) и (6.1.2).