Сопротивление сферического газового пузырька при его установившемся всплывании в жидкости

В § 4.9 было исследовано свободное всплывание в жидкости газового пузырька, имеющего настолько малый диаметр, что силы вязкости становятся основными. Число Рейнольдса такого течения быстро возрастает с увеличением размера пузырька, и было бы интересно рассмотреть течение при таких числах Рейнольдса (определенных по скорости всплывания и диаметру пузырька), при которых применимо приближение пограничного слоя. Мы будем считать, однако, пузырек настолько малым, что под действием поверхностного натяжения он остается приближенно сферическим. Изменения давления в жидкости на границе пузырька,

обусловленные его движением, стремятся изменить форму пузырька, однако наблюдения показывают, что это изменение невелико для пузырьков радиуса вплоть до см (или объема вплоть до движущихся в чистой воде; для пузырьков, имеющих размеры, близкие к указанному предельному значению, число Рейнольдса, несомненно, намного превышает единицу. Кроме того, на основе проведенного выше обсуждения мы предположим, что пограничный слой не отрывается от поверхности пузырька. Наблюдения течения вблизи поднимающихся пузырьков подходящих размеров подтвердили, что фактически при любой скорости движения в чистой жидкости обратного течения не возникает (Хартунян и Сире (1957)). (Известно, что пузырьки объемом более принимают в воде форму, подобную сферическому сегменту, и на остром краю получающейся сферической чашечки пограничный слой отрывается (см. § 6.11); такие пузырьки мы здесь не будем рассматривать.) Наконец, мы предположим, что движение газа внутри пузырька не оказывает влияния на движение жидкости.

В принятых предположениях завихренность должна локализоваться в тонком пограничном слое на поверхности пузырька и в узком осесимметричном следе, а безвихревое течение вне пограничного слоя и следа приближенно будет таким же, как если бы жидкость была невязкой. Таким образом, для сферического пузырька радиуса а, движущегося со скоростью в покоящейся на бесконечности жидкости, течение вне пограничного слоя и следа приближенно задается (см. (2.9.26)) потенциалом скорости

где сферические координаты с началом отсчета в мгновенном положении центра сферы.

Чтобы оценить сопротивление пузырька при установившемся движении, нет необходимости анализировать течение в пограничном слое, поскольку скорость, с которой силы плавучести пузырька совершают работу, а именно величина должна быть равна полной скорости диссипации энергии в жидкости, и, таким образом, мы видим, что сопротивление можно приближенно определить, зная только безвихревое течение. Общее выражение для скорости диссипации энергии в несжимаемой жидкости (4.1.5) в случае безвихревого течения в объеме V жидкости принимает вид

где а последний из интегралов берется по поверхности А, ограничивающей объем V (нормаль направлена наружу из объема У). Итак, сопротивление газового пузырька определяется

соотношением

вычисление этого интеграла для рассматриваемого течения (5.14.7) дает

Отсюда получаем коэффициент сопротивления

где Коэффициент сопротивления твердого тела при безотрывном обтекании пропорционален (§ 5.11), а для «тела» со свободной поверхностью он имеет меньший порядок, поскольку свободная поверхность замедляет жидкость в пограничном слое не так сильно, как твердая.

Если учесть диссипацию энергии в пограничном слое на поверхности пузырька и в следе, то можно получить более точную оценку величины сопротивления пузырька (Мур (1963)):

Теперь можно определить предельную скорость всплывания V пузырька, движущегося только под действием силы тяжести; для этого надо приравнять силу сопротивления силе плавучести пузырька объема . С использованием первого приближения для силы сопротивления (5.14.9) имеем

Рис. 5.14.1. Коэффициент сопротивления газовых пузырьков, поднимающихся в различных жидкостях. Экспериментальные данные для двух жидкостей взяты по экспериментальным кривым Хабермана в Мортона (1953).

Были проведены наблюдения скоростей всплывания пузырьков различных размеров в разных жидкостях, свободных от примесей; на рис. 5.14.1 показаны значения предельных коэффициентов сопротивления для двух жидкостей в зависимости от числа Рейнольдса (в котором в качестве длины а взят радиус сферы, имеющей тот же объем, что и пузырек). Для чисел Рейнольдса, превышающих и меньших критического значения, при котором начинается резкое возрастание коэффициента сопротивления, согласование наблюдаемых значений с расчетными данными по (5.14.10) удовлетворительное, а с расчетными данными по (5.14.11) довольно хорошее. Критические значения числа Рейнольдса для различных жидкостей различны, и, по-видимому, они связаны с началом искажения сферической формы пузырька. Перепад давления воды на поверхности пузырька, всплывающего с постоянной скоростью приближенно равен и пузырек можно считать сферическим под действием поверхностного натяжения с коэффициентом у только в том случае, когда или, принимая в качестве предельную скорость движения (5.14.12), когда

Для чистой воды отсюда получается ограничение на радиус пузырька

это значение в действительности близко к тому значению радиуса воздушного пузырька в чистой воде, при котором впервые наблюдается его несферичность.

Когда перепад давления впервые становится сравнимым с поверхностным натяжением, пузырек принимает форму эллипсоида, сплющенного в направлении от передней критической точки к кормовой под действием давления торможения. Можно было бы вычислить полную диссипацию энергии в безвихревом течении, вызванном движением сплющенного эллипсоида, и получить новую оценку предельной скорости пузырька, но результат вычислений будет, вероятно, иметь меньшее практическое значение, так как форма пузырька и предельная скорость зависят теперь также от поверхностного натяжения, а движение пузырька становится неустойчивым и он поднимается зигзагообразно или по спирали. Однако приведенная теория все же хорошо описывает наблюдаемый минимум коэффициента сопротивления в зависимости от объема пузырька.