Приложения теории установившегося вторичного течения

Как было отмечено ранее, рассмотренное выше установившееся течение представляет особый интерес по той причине, что оно вызывает повсеместное перемещение элементов жидкости. Это перемещение связано со средней скоростью данного жидкого элемента, которая может отличаться от средней скорости жидкости в точке; попытаемся найти зависимость между этими скоростями. Пусть скорость в момент элемента жидкости, который в предыдущий момент находился в точке и пусть скорость жидкости в момент в точке х. Тогда без каких-либо приближений получаем

Для значений порядка периода колебаний перемещение элемента жидкости мало по сравнению с так что приближенно

и скорость в правой части (5.13.21) можно с достаточной точностью заменить на и. Теперь можно получить второе приближение для скорости вторичного течения; с этой целью нужно воспользоваться первым приближением для оценки нелинейного члена, т. е. тем же способом, который применялся при выводе уравнения (5.13.16). Взяв среднее за один цикл и снова положив мы найдем среднюю скорость элементов жидкости на границе пограничного слоя (где приближенно параллельны твердой границе)

Таким образом, средняя скорость элемента жидкости, находившегося в точке и средняя скорость жидкости в точке различаются по кинематическим причинам всякий раз, когда фаза флуктуаций скорости изменяется в зависимости от расстояния х по направлению скорости; это различие, не зависящее непосредственно от вязкости, имеет тот же вид, что и один из двух членов в (5.13.20), обусловленных влиянием вязкости у твердой границы.

Многие колебательные движения жидкости имеют вид либо «стоячей волны», когда фаза у колебаний не зависит от координаты, либо вид «прогрессивной волны», когда амплитуда А не зависит от координаты. Движение первого типа возникает в том случае, когда твердое тело колеблется около некоторого среднего положения; для этого движения сразу вне пограничного слоя, согласно (5.13.20) и (5.13.22), имеем

отсюда видно, что элементы жидкости перемещаются в те области, где амплитуда колебаний минимальна. В случае колебаний кругового цилиндра (радиуса а), скорость центра которого в направлении по нормали к оси равна действительной части от мы имеем

так что скорость смещения элементов жидкости сразу вне пограничного слоя равна

(положительное значение скорости соответствует увеличению угла 9). Это смещение жидкости вокруг поверхности цилиндра по направлениям к передней и кормовой критическим точкам приводит к возникновению циркуляции жидкости как целого внутри каждого квадранта; качественно такую картину можно наблюдать при колебании кругового цилиндра в баке с водой, поверхность которой покрыта блестящими частицами.

Колебания жидкости типа стоячей волны возникают также в том случае, когда неподвижное твердое тело погружено в жидкость, через которую проходят плоские звуковые волны, при условии, что длина звуковой волны больше размера тела; получающееся в результате установившееся вторичное движение называют «акустическим течением». Другое акустическое явление, которое можно объяснить рассмотренными выше эффектами колебаний вязкой жидкости, состоит в том, что мелкие частицы пыли стремятся скапливаться в узловых точках (скорости) на стенках трубы, в которой поддерживается стоячая звуковая волна (так называемая трубка Кундта). В этом случае снова применим анализ для несжимаемой жидкости, если где длина звуковой волны. Поскольку здесь то из (5.13.23) получаем

где скорость распространения звуковой волны. Во внутренней области жидкости возникает циркуляция, соответствующая этому установившемуся течению по направлению к узловым точкам сразу вне пограничного слоя; при этом над пучностями жидкость притекает к стенке трубы, а над узлами течет от стенок; поле установившегося течения в этом случае (без учета приближения пограничного слоя к исходному движению вблизи стенки) было вычислено Рэлеем (1883). Мелкие частицы пыли могут скапливаться на стенке в таких местах, в которых они не испытывают возмущений от исходного периодического движения, т. е. в узловых точках скорости, и они переносятся в такие места под действием вторичного установившегося течения.

Периодические течения, возникающие в воде постоянной глубины при прохождении фронта прогрессивной волны, служат примером течений другого вида, в которых фаза у изменяется с координатой. Смещение жидких элементов в таких течениях может иметь важные практические приложения, такие, как перенос осадочных пород вблизи дна. Амплитуда синусоидальных колебаний жидкости сразу вне пограничного слоя на горизонтальном твердом дне не зависит от положения на нем, так что из (5.13.20) и (5.13.22) имеем

Кроме того, мы имеем здесь (направление распространения фронта волны соответствует увеличению координаты где k — длина волны. Таким образом, сразу вне пограничного слоя на твердом дне получаем средние скорости жидкости в точках и скорости жидких элементов соответственно

где с — скорость распространения фронта волны. Известно, что амплитуда А колебаний уменьшается с глубиной по экспоненциальному закону, а дополнительная скорость смещения жидкости, обусловленная влиянием вязкости, имеет заметную величину только на расстоянии от дна, не превышающем примерно одну длину волны. Наблюдения обнаруживают повсеместное установившееся смещение малых твердых частиц вблизи дна в направлении распространения волны, причем скорость смещения близка к теоретическому значению

Как мы увидим в следующем параграфе, имеется еще «пограничный слой» на свободных поверхностях, который также приводит к смещению жидкости вблизи поверхности при прохождении фронта волны (Лонге-Хиггинс (1953)).