Кинетическая энергия жидкости

Выражения для кинетической энергии жидкости через интегралы по поверхности были приведены в § 6.2. Здесь мы применим эти выражения к случаю, в котором жидкость ограничена изнутри твердым телом, имеющим заданное движение. Для тел, движущихся поступательно, можно получить неожиданно простое соотношение между кинетической энергией и коэффициентами в разложениях (6.4.1) или (6.4.4).

Возьмем сначала тело, занимающее односвязную область и движущееся в трехмерном поле, или тело в двумерном поле с нулевой циркуляцией вокруг него. Тогда потенциал скорости будет однозначной функцией, и общее выражение для кинетической энергии жидкости (см. (6.2.8)) дает

где интеграл берется по поверхности тела. В случае тела, совершающего как поступательное, так и вращательное движения, значение на поверхности тела определяется граничным условием (6.4.7), и, следовательно,

Подстановка общего выражения (6.4.10) (при показывает, что кинетическая энергия жидкости как и кинетическая энергия твердого тела, оказывается квадратичной функцией и она может быть написана в виде

где как и раньше, — объем тела, а тензорные коэффициенты зависят от формы и размера тела. Коэффициент

безразмерен, зависит только от формы тела и определяется интегралом

поскольку, как было отмечено, написанные интегралы симметричны по

Можно продвинуться дальше в простом, но тем не менее важном случае тела, движущегося без вращения (по-прежнему при В этом случае

Итак, кинетическая энергия жидкости, возникающая при поступательном движении тела, равна произведению величин из которых вторая зависит от формы тела и от направления его движения. Уже известные выражения для сферы и кругового цилиндра показывают, что для них равно и соответственно. Другие частные значения будут указаны в этой главе позже. В случае осесимметричного тела главными осями тензора будут ось симметрии тела и любые две ортогональные ей оси.

Еще один результат при получается из сравнения выражений (6.4.10) и (6.4.8); для трехмерного поля имеем

для двумерного поля получается аналогичное выражение с заменой на Очевидно, что имеется связь, хотя она и непростая, между объемом тела и величиной возмущения, которое обнаруживается в жидкости на больших расстояниях; величина компоненты в направлении интенсивности диполя источников, изображающего влияние тела на больших расстояниях, не может быть меньше, чем произведение (как в двумерном, так и в трехмерном поле). Другое выражение для этого соотношения между при получается из выражений (6.4.12) и (6.4.15); для трехмерного поля имеем

а для двумерного поля заменяется на

В случае двумерного поля с ненулевой циркуляцией вокруг тела скорость жидкости на больших расстояниях от тела имеет порядок и теоретически течение обладает бесконечной кинетической энергией. Значение этого факта для реальной жидкости состоит в том, что на величину кинетической энергии в жидкости оказывают влияние положение и форма удаленной внешней границы. Разделение потенциала скорости на две части, описанное в конце § 2.8, полезно, поскольку однозначная часть потенциала

скорости вносит конечный вклад в величину кинетической энергии. Из равенства (2.8.10) (в котором нормаль к поверхности А направлена от жидкости) имеем

где кинетическая энергия, связанная с циркуляцией х при нулевой нормальной компоненте скорости на границе и имеющая бесконечно большое значение независимо от значения первого члена и величин Первый член в правой части выражения (6.4.19) представляет собой кинетическую энергию движения, соответствующую данным значениям при и, следовательно, к нему непосредственно применимы все сделанные выше замечания.