Коэффициенты переноса в совершенном газе

Если некоторые параметры газа неоднородно распределены в пространстве и если эти параметры определяются величинами, которые связаны с отдельными молекулами и в некотором смысле сохраняются, то вследствие случайных движений молекул и неизменности их свойств с течением времени происходит сглаживание распределений параметров в пространстве. Явления молекулярного переноса подобного рода существуют у всех жидкостей, как уже отмечалось в § 1.6. В случае совершенного газа можно оценить величину коэффициентов переноса (представляемых параметрами в выражении путем фактического расчета переноса, обусловленного молекулами, движущимися независимо друг от друга. Точный расчет коэффициентов переноса для газа сопряжен как с принципиальными, так и с математическими трудностями, и описание соответствующих методов и их результатов выходит за рамки данной книги.

В совершенном газе, находящемся в состоянии равновесия, распределение молекул по скоростям (см. (1.7.8)) изотропно. Следовательно, реакция газа на отклонение от состояния равновесия в виде пространственной неоднородности параметров газа не имеет какого-либо предпочтительного направления, и поэтому тензор коэффициента переноса определяется единственным скалярным параметром к, введенным в (1.6.2).

Предположим, что неоднородность газа связана с некой величиной, которая в процессе столкновения молекул сохраняется и значение которой для данной молекулы равно различные возможные интерпретации величины будут даны ниже. Тогда вследствие свободного перехода молекул с характеристикой и скоростью и по нормали к элементу поверхности в газе происходит перенос этой величины (на единицу площади и в единицу времени), равной произведению и на число молекул в единице объема, и, таким образом, полный поток на единицу площади равен

причем осреднение производится по всем молекулам в окрестности рассматриваемого элемента. Если локальная средняя (в том же самом смысле) величина постоянна по всему газу, то статистически не может быть никаких данных, чтобы с определенным значением связать тот или иной знак нормальной скорости и и поэтому полный поток равен нулю. С другой стороны, если величина непостоянна, то молекулы, движущиеся в направлении возрастающих значений будут смешиваться с молекулами, имеющими величины меньшие их локального среднего значения. Направление движения молекулы становится совершенно случайным в пределах нескольких столкновений после заданного направления движения, поэтому на поток может оказать влияние только изменение величины в пределах нескольких длин свободного пробега молекул от рассматриваемой точки; иначе говоря, поток может зависеть только от локального градиента величины как и в более общем случае, обсуждавшемся в § 1.6.

Если сделать грубое предположение, что в процессе свободного пробега молекула всегда имеет значение величины равное в положении ее последнего столкновения, то значение на поверхности элемента определяется разностью

где вычислены при определенном положении элемента, промежуток времени, прошедший после столкновения. Еще одно грубое приближение, которое нужно сделать, заключается в том, что время можно заменить средним временем между столкновениями. Тогда поток на единицу площади будет равен

В этом случае изотропной среды вектор потока направлен вдоль локального градиента величины и поэтому величина вектора равна потоку на единицу площади через элемент поверхности с нормалью в направлении Отсюда следует выражение вектора потока

в котором мы пренебрегли малыми различиями среднеквадратичных значений компонент скорости и. Нельзя ожидать, что это выражение даст правильные численные результаты, но оно показывает, какие параметры влияют на коэффициенты переноса для совершенного газа. Характерным для этого выражения является произведение которое входит в выражения всех коэффициентов Диффузии для совершенного газа. Можно написать произведение

в виде где I — некоторая средняя длина свободного пробега молекулы между столкновениями.

Придадим теперь величине различные конкретные значения. Если равно единице для молекул определенного вида и равно нулю для других молекул в смеси газов, то есть локально относительное количество отмеченных молекул, и оно совпадает с концентрацией С, введенной в § 1.6. Поток, определяемый выражением (1.7.27), представляет собой поток числа отмеченных молекул, и в этом случае выражение (1.7.27) эквивалентно оценке коэффициента диффузии (см. (1.6.3) и (1.6.8)), который имеег порядок где средние величины для отмеченных молекул. Величина для отмеченных молекул может отличаться от ее значения для неотмеченных молекул, и она уменьшается с увеличением молекулярного веса отмеченных молекул в газе при данной температуре.

Если есть полная энергия молекулы, то в этом случае отношение представляет собой внутреннюю энергию единицы массы газа и поток, определяемый выражением (1.7.27), есть по существу поток тепла. Поэтому на основании выражения (1.7.27) коэффициент теплопроводности определенный в § 1.6 как поток тепла через единицу площади на единицу локального градиента температуры знаком минус), имеет порядок

и соответственно коэффициент термодиффузии (см. имеет порядок

Если в качестве взять компоненту количества движения молекулы в данном направлении в плоскости элемента поверхности в газе, совершающем простое движение сдвига, так что скорость газа изменяется только в направлении нормали к элементу поверхности, то отношение равно скорости газа а поток, определяемый выражением (1.7.27) (которое, как предполагается в этом случае, применимо только лишь при одном выборе направления нормали к элементу поверхности), представляет собой касательную компоненту напряжения через элемент поверхности. Поэтому из выражения (1.7.27) можно установить, что коэффициент вязкости жидкости , определяемый равенством (1.6.15) как касательное напряжение, разделенное на градиент скорости жидкости,

имеет порядок а кинематический коэффициент вязкости он же коэффициент диффузии количества движения, имеет порядок

Оказывается, что для совершенного газа все три коэффициента диффузии имеют вид произведения

(хотя при диффузии одной из составных частей смеси величины относятся к отмеченным молекулам, а не ко всему газу в целом). К сожалению, величины и I не вполне определены для реальных молекул, поскольку они требуют некоторого произвола при решении вопроса о том, что представляет собой столкновение молекул. Вследствие этого из предложенной выше простой теории нельзя априори сделать точные выводы об абсолютной величине рассматриваемых коэффициентов диффузии; в действительности более полезно действовать в обратном направлении и определять величины и I, используя теорию и наблюдаемые значения коэффициентов диффузии. Однако предсказание того, что коэффициенты диффузии отмеченных молекул (в случае самодиффузии), тепла и количества движения имеют одинаковый порядок величины, подтверждается опытом. Простая формула

хорошо согласуется с измерениями кинематического коэффициента вязкости и коэффициента диффузии для многих газов. Для воздуха эта формула дает при наблюдаемом значении 0.72. Измерениями установлено, что отношение коэффициент самодиффузии) находится для большинства простых газов между 0,6 и 0,8.

Представляет интерес также зависимость коэффициентов диффузии от абсолютной температуры и плотности, устанавливаемая оценкой (1.7.28). Средняя величина зависит только от температуры и изменяется по линейно. При данной температуре и, следовательно, при данном типе столкновений количество молекул в каждый момент времени в цилиндре единичной длины, который условно проходит молекула при ее свободном движении, пропорционально так что произведение постоянно; по мере же увеличения температуры (и средней скорости молекул) можно ожидать небольшого уменьшения эффективного числа столкновений молекулы на единице длины пробега, поскольку более

отдаленные встречи молекул друг с другом уже нельзя будет считать столкновениями. Следовательно, должно быть

где величина а учитывает влияние температуры на процессы столкновения и, как показали наблюдения, для воздуха в диапазоне температур 200—400° К она приблизительно равна 0,25.

Измеренные значения коэффициентов диффузии и других параметров для воздуха при различных значениях температуры и плотности приведены в приложении 1 в конце книги.