6.11. Большие пузыри газа в жидкости

Когда жидкость постоянной плотности содержит пузырь или каверну, в которой плотность среды пренебрежимо мала, движение жидкости (газа) внутри каверны не оказывает влияния на течение окружающей его жидкости. Таким образом, мы получаем задачу о течении однородной жидкости со свободной поверхностью переменной формы, которая ограничивает каверну конечного объема. Масса газа в каверне может быть достаточно большой для того, чтобы его давление определяло объем каверны, как в случае газового пузыря, поднимающегося в воде под действием выталкивающей силы, или же достаточно малой для того, чтобы давление газа было определяющим, как в случае (некоторых фаз движения)

пузыря при подводном взрыве. Во всяком случае, основная математическая трудность обычно заключается в определении формы каверны, и эту трудность можно преодолеть только в специальных условиях. Мы рассмотрим здесь «большие» пузыри газа, на которые поверхностное натяжение влияет мало и для которых число Рейнольдса движущейся жидкости велико. Другие случаи течения жидкости со свободной поверхностью неизвестной формы будут описаны в § 6.13.

Пузырь в форме сферического сегмента, поднимающийся в жидкости под действием выталкивающей силы

В § 5.14 было отмечено, что для малых пузырьков газа объема меньше поднимающихся в воде, влияние поверхностного натяжения вполне достаточно для того, чтобы пузырек сохранял приближенно сферическую форму. Если объем пузыря в воде больше этой величины, то он под давлением воды сплющивается и поднимается, совершая колебания, о которых мало что известно. Дальнейшее увеличение объема пузыря сопровождается постепенным уплощением его нижней части, и для объемов, больших для которых влияние поверхностного натяжения пренебрежимо мало, он принимает форму зонтика или сферического сегмента, как видно на фото 6.11.1 и 6.11.2. Движение пузыря в вертикальном направлении становится приблизительно установившимся. Нижняя часть пузыря нестационарна и на краях сегмента появляются нерегулярные зазубрины, однако в противоположность этому вся его верхняя часть, по-видимому, стационарна, гладка и близка к сферической форме. Перечисленные свойства такого пузыря позволяют вывести простую формулу для постоянной скорости его подъема.

Рассмотрим установившееся течение вблизи критической точки на верхней части пузыря в связанной с ним системе координат и применим теорему Бернулли для линии тока на поверхности пузыря. Давление в воде на верхней части пузыря должно быть постоянным, поэтому

где радиус кривизны поверхности пузыря в критической точке сферические координаты с началом в центре кривизны О для точки на поверхности пузыря (рис. 6.11.3). Величина скорость воды на поверхности пузыря, и при больших числах Рейнольдса, соответствующих этому течению, она, по-видимому, зависит только от размера пузыря, его формы и скорости с которой он поднимается в воде. В пределах достаточно малой окрестности критической точки скорость изменяется в зависимости

Рис. 6.11.3. Схема течения при подъеме в жидкости пузыря в виде сферического сегмента.

от расстояния до точки по линейному закону (см. (2.7.11)), и можно написать

где а — безразмерная постоянная, зависящая только от формы пузыря. Из соотношения (6.11.1) видно, что его правую часть можно разложить в ряд по степеням 9, полагая

(члены порядка и равны нулю по определению после чего получим

Равенство (6.11.4) точное, но дальнейшее продвижение требует оценки коэффициента формы а. Фотографии течения за большими пузырями (см. фото 6.11.2) показывают, что отрыв пограничного слоя на верхней части пузыря происходит по зазубренной кромке (причины отрыва не совсем ясны; потеря количества движения в слое на поверхности нулевого напряжения обычно недостаточна для появления обратного течения и отрыва, и, по-видимому, острый край сферической поверхности играет важную роль в этом явлении); кроме того, отошедший пограничный слой находится приблизительно на той же самой сфере, что и верхняя часть пузыря, во всяком случае, до максимального поперечного сечения, за которым вихревой след, по-видимому, совершает колебания. Тот факт, что внутренняя граница области безвихревого течения в общем является сферической, дает возможность оценить величину

как если бы пузырь был частью сферы радиуса движущейся в невязкой жидкости; в этом случае

Из равенства (6.11.4) мы находим, что

Эта зависимость проверена экспериментально в широком диапазоне изменения размеров пузырей и для нескольких различных жидкостей, и установлено, что она весьма точно выполняется для объемов пузыря, больших Кроме того, такие же наблюдения (Дэвис и Тейлор (1950)) показывают, что угол 90, определяющий край сегмента, находится приблизительно в интервале между 46 и 64° без какого-либо заметного систематического изменения с изменением объема пузыря. Среди других приложений формула (6.11.6) дает в первом приближении скорость подъема облака сильно нагретого газа, возникающего при взрыве атомной бомбы, в зависимости от наблюдаемого диаметра (после того как облако поднимется над землей и скорость его подъема станет стационарной).

Существенное соображение, лежащее в основе равенства (6.11.4), заключается в том, что линейная зависимость статического давления в жидкости от вертикальной координаты совпадает с локально квадратичной зависимостью от расстояния до наивысшей точки криволинейной поверхности, изображенной на рис. 6.11.3; поэтому изменение давления на поверхности пузыря, обусловленное силой тяжести, может компенсироваться динамическим давлением когда зависит линейно от , как это происходит в том случае, когда точка совпадает с критической. Это соображение применимо в самых различных условиях, и приведенные выше формулы могут быть обобщены в различных направлениях.

Вместо ограничения, состоящего в том, что плотность жидкости внутри пузыря должна быть мала по сравнению с плотностью окружающей его жидкости, мы можем сделать более общее предположение, что изменение динамического давления внутри пузыря мало по сравнению с таким же давлением вне его. Тогда коэффициент в равенстве (6.11.4) заменяется на коэффициент пригодный также и при отрицательных значениях разности Если жидкости в целом сообщается постоянное ускорение то коэффициент в равенстве (6.11.4) заменяется на и другие изменения не требуются. Еще одно интересное обобщение относится к случаю пузыря (или «капли», если который движется с ускорением относительно

окружающей его жидкости, приближенно сохраняя свою форму вместе со следом. Тогда в левую часть уравнения (6.11.1) нужно добавить член где потенциал скорости течения относительно пузыря (вблизи потенциал скорости и нужно учесть силу инерции на единицу массы всей жидкости. Рассматриваемый случай особенно интересен, когда производная по величине значительно больше как, например, когда капля воды помещается в поток воздуха большой скорости; при этих условиях равенство (6.11.4) заменяется на уравнение

Поскольку для капли воды в воздухе решение этого уравнения имеет вид

Наконец, на фото 6.11.2, в показано, что соотношения, подобные (6.11.5) и (6.11.6), применимы и к двумерному пузырю, только при этом коэффициент 2/3 в формуле (6.11.6) заменяется на 1/2.

Замечательное свойство равенства (6.11.4) и его различных обобщений состоит в том, что скорость движения пузыря определяется его формой, и нет необходимости рассматривать механизм действия силы сопротивления, которая в установившемся движении уравновешивает влияние архимедовой силы на пузырь. То, что сила сопротивления, очевидно, не зависит от числа Рейнольдса и, следовательно, что скорость диссипации механической энергии непосредственно не зависит от вязкости, означает, что напряжения, вызываемые переносом количества движения, влияют только на течение в следе пузыря.