Поведение потенциала на больших расстояниях

Если полная скорость обращается в нуль на бесконечности и распределения скорости объемного расширения и завихренности таковы, что там скорости и и, также обращаются в нуль, то и остающееся слагаемое скорости должно обращаться в нуль на бесконечности. В дальнейшем будем использовать предположение, что при чтобы определить поведение скорости и функции при больших значениях полученная таким путем информация будет полезна при дальнейшем изучении соленоидального течения, которое, как известно, безвихревое во внешних частях жидкости бесконечной протяженности. Сначала будет показано, в частности, что функция стремится к постоянной при вследствие того, что удовлетворяет уравнению Предположим сначала, что функция однозначная функция от х, как в случае односвязной области, занимаемой жидкостью; необходимые видоизменения для неоднозначной функции рассматриваются в следующем параграфе.

Поверхность внутренней границы жидкости будем обозначать как и раньше, через с внешней единичной нормалью к элементу этой поверхности; через А 2 обозначим поверхность сферы в жидкости с центром в точке с внешней единичной нормалью и с достаточно большим радиусом заключающей в себе все внутренние границы; область вне сферы полностью занята жидкостью (рис. 2.9.1). Мы воспользуемся теоремой Грина одна из форм которой гласит, что если две скалярные функции координат, однозначные, конечные и непрерывные вместе со своими частными производными по координатам всюду внутри объема V, ограниченного поверхностями и то

В качестве выберем в данном случае

Рис. 2.9.1. Схема обозначений для жидкости, простирающейся в бесконечность и там покоящейся.

где расстояние между точкой и точкой х, в которой расположен элемент интегрирования. Функция обладает всеми требуемыми свойствами, будучи однозначной, конечной и непрерывной всюду внутри объема V, однако функция не является конечной в точке поэтому точку нужно окружить сферой малого радиуса которая исключается из объема V и поверхность которой нужно отнести к внутренней границе жидкости. Это дополнительное слагаемое при интегрировании по поверхности в левой части равенства (2.9.8) при есть

где элемент телесного угла, под которым виден элемент поверхности из точки а штрихом, как и раньше, отмечены значения функции в точке х. Учтем далее, что обе функции, удовлетворяют уравнению Лапласа, поэтому правая часть равенства (2.9.8) обращается в нуль и остается

а поскольку на поверхности то

Так как всюду внутри V, то

где объемный поток жидкости через внутреннюю границу (в направлении внешней ее части), обусловленный полем скорости Кроме того, можно написать равенство

выражающее среднее значение по сфере радиуса с центром в точке х. Тогда

Это соотношение удобно для определения поведения функции при больших значениях поскольку все члены в его правой части, за исключением первого, стремятся к нулю по мере того, как а следовательно, и возрастают (радиус также увеличивается таким образом, что сфера с центром в точке х постоянно содержит внутренние границы). Однако теперь необходимо подробнее рассмотреть первое слагаемое Для этого воспользуемся теоремой, установленной Гауссом для гравитационного потенциала, который в свободном пространстве также удовлетворяет уравнению Лапласа. Результат Гаусса сводится к приведенному ниже соотношению (2.9.14), а его доказательство заключается в следующем.

Выражения (2.9.10) для объемного потока жидкости можно записать в виде

где как и раньше, — элемент телесного угла с вершиной в точке Следовательно, интегрирование в (2.9.13) по дает

где С не зависит от Чтобы установить, зависит ли С от х, центра сферы вычислим производную от С по любой компоненте вектора х, например по сохраняя постоянным,

Последнее выражение представляет собой среднее значение компоненты скорости по сфере которая, как известно,

обращается в нуль для больших значений поскольку скорость равна нулю всюду на бесконечности. Следовательно, С не зависит как от так и от х.

Подставляя (2.9.14) в (2.9.12), определяем функцию

которая зависит только от х и условий на внутренней границе. При величина также становится большой, а подинтегральное выражение в (2.9.16) — малым всюду на конечной поверхности следовательно, получается, что

Условия единственности для определения ...

Установленный факт, что стремится на бесконечности к постоянной, можно в дальнейшем использовать наряду с равенством (2.7.6), чтобы установить условия единственности для Если в качестве внешней границы А 2 взять сферу большого радиуса содержащую все внутренние границы, то интеграл от произведения по всему объему жидкости будет равен

Величина интеграла конечна (и равна объемному потоку жидкости через внутреннюю границу), так что

Для жидкости, простирающейся в бесконечность, это соотношение заменяет равенство (2.7.6), и очевидно, что условие, при котором два решения обязательно совпадают, имеет вид

где постоянные значения потенциалов на бесконечности, а объемные потоки жидкости через внутреннюю границу, соответствующие этим двум решениям. Снова мы видим, как и в § 2.7, что определяется единственным образом, если значение его нормальной компоненты в каждой точке границ жидкости (в данном случае имеются в виду только внутренние границы жидкости) заданы, поскольку это условие требует выполнения в каждой точке границы равенств

и Здесь опять существует другой, хотя и менее важный, путь обеспечения единственности состоящий в том, чтобы задать значение в каждой точке границы и еще либо значение объемного потока либо константы С, к которой функция стремится на бесконечности.