Интенсификация завихренности при растяжении вихревых линий

Тот факт, что завихренность жидкого элемента возрастает при растяжении его в направлении вихревой линии (мы ограничиваемся невязкой жидкостью), указывает на возможность увеличения суммарной завихренности в некотором объеме жидкости, Удобной мерой суммарной величины завихренности в жидком объеме служит интеграл согласно (5.2.2), имеем

Это соотношение становится более понятным, если его переписать в тензорной форме и использовать формулу Остроградского — Гаусса:

где жидкая поверхность, ограничивающая объем Как и ожидалось, влияние вязкости может привести только к уменьшению суммарной величины завихренности (второй член в правой части (5.2.8)), если не учитывать изменения за счет диффузии потока завихренности через граничную поверхность (последний член в (5.2.8)). Кроме того, отметим, что величина положительна там, где скорость растяжения элементов жидкости в направлении положительна. В общем случае в произвольный момент времени некоторые элементы жидкой линии подвергаются растяжению, а некоторые — сжатию, поэтому ясно, что при надлежащем расположении вихревых линий (только не в двумерном течении) величина может стать положительной, а вместе с ней станет положительной и вся правая часть соотношения (5.2.8).

Существуют многочисленные поля течений, в которых суммарная величина завихренности возрастает и продолжает расти некоторым удивительным образом до тех пор, пока изменение распределения завихренности за счет уменьшения под действием сил вязкости не уравновесит ее прирост за счет растяжения вихревых линий. В этом состоит одно из самых замечательных свойств турбулентного течения, в котором величина интеграла от на единицу объема жидкости достигает большого значения (пропорционального положительной степени числа Рейнольдса) прежде, чем потеря завихренности под действием вязкости скомпенсирует или превысит упомянутый прирост завихренности.

Общее обсуждение интенсификации завихренности не входит в план данной книги, и мы ограничимся лишь рассмотрением простого примера установившегося течения, в котором вихревые линии подвергаются растяжению. В этом примере вектор завихренности имеет неизменное направление; в цилиндрической системе координат его компоненты суть ), причем зависит только от радиуса от и времени Распределение скорости течения напоминает осесимметричное и характеризуется компонентами Действительно, направление завихренности будет оставаться неизменным лишь в том случае, когда вектор параллелен оси х, так что должны по предположению не зависеть от х. Таким образом, движение в осевой плоскости описывается уравнениями

и представляет собой осесимметричное безвихревое течение в окрестности критической точки (§ 2.7), на которое наложено азимутальное движение с завихренностью со. Здесь а — произвольная положительная постоянная.

Уравнение для завихренности (5.2.1) теперь сводится к единственному скалярному уравнению

Нас главным образом интересует возможность существования стационарного течения рассматриваемого вида, для которого зависит только от а и, очевидно, удовлетворяет уравнению

Если положить константу равной нулю, чтобы устранить особенность функции при то решение этого уравнения примет следующий вид:

Можно показать, что (5.2.11) в действительности есть предельное распределение завихренности , к которому она стремится при причем произвольное начальное распределение завихренности в зависимости от а должно удовлетворять только условию, что стремится к нулю быстрее, чем при и что интеграл конечен и отличен от нуля. Этот интеграл выражает поток завихренности через плоскость, нормальную оси х, и является инвариантом, вследствие чего он определяет константу из начальных условий.

Решение (5.2.11) представляет установившееся течение, в котором завихренность концентрируется в области, ограниченной расстоянием порядка от оси симметрии, и в котором интенсификация завихренности, обусловленная растяжением вихревых линий, в конце концов уравновешивается уменьшением завихренности из-за распространения ее в боковых направлениях под действием вязкой диффузии. Это установившееся распределение завихренности в точности совпадает с мгновенным распределением завихренности в задаче о расширении (диффузии) вихревой нити (см. (4.5.13)), а соответствующие распределения азимутальной скорости в зависимости от а имеют, следовательно, вид (4.5.14) (см. также рис. 4.5.1). Интересное свойство решения (5.2.11) состоит в том, что, несмотря на возможность существования любого начального распределения завихренности, она концентрируется в конечном счете внутри области, ограниченной некоторым расстоянием от оси симметрии, которое может быть очень малым. Если начальную завихренность приближенно можно считать постоянной, равной внутри области, ограниченной расстоянием от оси симметрии, и равной нулю вне этой области, то условие постоянства потока завихренности через плоскость, нормальную оси х, дает

Условия, используемые при получении решения (5.2.11), а именно неизменность направления вектора вихря вдоль оси симметрии и наложенное деформационное движение, приводящее к однородному растяжению вихревых линий, кажутся весьма специальными, однако можно ожидать, что близкие к этим условия встречаются локальным образом довольно часто. Если упомянутые условия выполняются в значительном объеме жидкости, то это может привести к неожиданным результатам. Примером установившегося течения такого вида приближенно можно считать торнадо, в котором растяжение вихревых линий возникает в результате восходящих потоков теплого воздуха. Другой пример:

когда струя газа выбрасывается из реактивного двигателя неподвижного самолета, часто наблюдается появление интенсивного вихря в области между поверхностью земли и воздухозаборником двигателя. Более житейский пример связан с известным вихрем, возникающим при вытекании воды из ванны. Это установившееся концентрированное распределение завихренности вызывается вытекающим потоком воды в результате растяжения вихревых линий исходного случайного движения воды в ванне. Во всех этих примерах растяжение вихревых линий порождается, грубо говоря, осесимметричным движением жидкости вдали от плоской границы.

Для случая, когда сжатие в плоскости перпендикулярной к вихревым линиям, происходит только в одном направлении, скажем вдоль оси у, можно найти решение, аналогичное решению (5.2.11). В этом случае завихренность не зависит от и представляется в виде

что соответствует вихревой пелене, распределенной в слое толщиной порядка

Упражнение

(см. скан)