Постоянная завихренность в области, ограниченной снаружи

Нет необходимости подробно обсуждать решение задачи о течении подобного вида, однако заслуживает внимания тот факт, что на практике могут встретиться по крайней мере два пути возникновения установившихся течений с постоянной завихренностью в области, ограниченной извне. Первый и наиболее очевидный путь связан с начальным вращением жидкости как целого. Пусть жидкость заключена в твердый цилиндр, который вращается с постоянной скоростью относительно некоторой оси, параллельной его образующим; под действием вязкости жидкость в конечном счете будет находиться в состоянии покоя относительно твердой границы и будет иметь, следовательно, постоянную завихренность. Если теперь вращение цилиндра внезапно прекращается, то жидкость в цилиндре будет продолжать движение с постоянной завихренностью, за исключением тонкого слоя вблизи границы (предполагается, что отрыва течения нет), где сильно сказывается влияние вязкой диффузии завихренности от стенки. Толщина этого пограничного слоя увеличивается до тех пор, пока вся жидкость не придет в состояние покоя; однако при подходящих больших числах Рейнольдса течения существует период времени, когда толщина пограничного слоя пренебрежимо мала. В течение этого промежутка времени движение всей массы жидкости описывается уравнением (7.4.5) с постоянным значением на стационарной границе жидкости.

Другой путь возникновения областей постоянной завихренности в установившемся двумерном течении также связан с действием вязкости в начальный период движения. Предположим, что в стационарном состоянии существует семейство замкнутых линий тока, не охватывающих внутренней границы, и влияние вязких напряжений для этих линий тока всюду мало (т. е. среди этих линйй тока ни одна не проходит через слой жидкости, в котором силы вязкости и инерции сравнимы). Вдоль каждой из этих линий тока завихренность будет приближенно постоянной. Далее, точным уравнением, описывающим завихренность в этом случае двумерного движения, будет уравнение

представляющее собой обычное уравнение диффузии в движущейся среде; отсюда следует, что если завихренность имеет различные значения на разных линиях тока, то должен существовать поток завихренности поперек линий тока, направленный либо внутрь, либо наружу во всех точках какой-либо из рассматриваемых замкнутых линий тока. Поскольку источников и стоков завихренности в центре семейства замкнутых линий тока не имеется, единственным возможным стационарным состоянием будет состояние с постоянной завихренностью (для установления такого состояния потребуется длительное время ввиду предположения о малом влиянии сил вязкости). Доказательство этого факта может быть проведено в строгой аналитической форме (Бэтчелор (1956)); было установлено, что этот результат справедлив также и в том случае, когда замкнутые линии тока охватывают внутреннюю границу.

В общем, какой бы ни была причина возникновения постоянной завихренности, определение функции тока по уравнению (7.4.5) при заданном оказывается чисто математической задачей. Решения этого уравнения, упомянутые в § 4.2, могут быть использованы и здесь при соответствующей их интерпретации. Например, для установившегося течения с постоянной завихренностью в области, ограниченной снаружи эллипсом с полуосями мы имеем

Это решение справедливо во всей области, за исключением окрестности границы, где могут оказаться существенными силы вязкости; интересная особенность движения состоит в том, что частицы жидкости движутся по подобным эллипсам и за равное время пробегают орбиты одинаковое число раз при постоянном моменте количества движения каждой частицы относительно центра.