Установившееся вторичное течение, обусловленное колеблющимся пограничным слоем

Интересные следствия связаны с другим свойством распределения скорости (5.13.6), а именно с быстрым изменением амплитуды колебаний поперек пограничного слоя. В этом случае, когда либо амплитуда, либо фаза скорости «внешнего потока» в двумерном течении изменяется с изменением координаты х, направленной вдоль этого внешнего потока, из уравнения сохранения массы видно, что должна существовать ненулевая компонента скорости порядка нормальная к границе пограничного слоя; в явном виде она выражается действительной частью от

Если окажется, что действительные части величин в некоторой точке изменяются с разностью фаз, отличной от так что среднее их произведения не равно нулю, то в течение одного цикла колебания должен происходить перенос -компоненты количества движения через элемент поверхности, нормальный направлению у. Это эффективное напряжение, появляющееся в результате увеличения амплитуды скорости и с увеличением расстояния от границы, будет изменяться поперек пограничного слоя и, таким образом, будет приводить к возникновению ненулевой средней силы, действующей на жидкость. Получающееся в результате установившееся движение жидкости может оказаться слабым, но, поскольку оно приводит к перемещению значительного количества регулярно колеблющейся жидкости, его влияние иногда становится важным. Такое установившееся течение, по-видимому, возникает при любом колебательном движении, в котором имеется ненулевой средний поток количества движения через поверхности в жидкости; можно ожидать, что оно будет более значительным в том случае, когда существует пограничный слой, в котором имеется большой поперечный градиент амплитуды колебаний скорости (а также напряжения).

Для определения указанного установившегося течения вернемся к уравнению пограничного слоя, в котором сохранены нелинейные члены. С целью упрощения выкладок движение будем считать двумерным. Пусть действительные (не

комплексные) скорости жидкости относительно границы, изменяющиеся синусоидальному закону, соответственно внутри и на внешней границе пограничного слоя; были выше определены линейной теорией; пусть удовлетворяют полным нелинейным уравнениям, которые применимы как внутри пограничного слоя, так и на его границе соответственно. Тогда, поскольку предположительно малы по сравнению с получаем приближенное уравнение для

Выражения для очевидно, состоят из членов, пропорциональных и постоянных. Последние и представляют искомое установившееся течение; выполнив осреднение всех членов уравнения (5.13.16) по одному циклу, получим

Так как скорость есть действительная часть выражения в общем случае комплексная величина), то можно записать

где звездочкой обозначена сопряженная комплексная величина; далее,

Скорости действительные части комплексных величин определяемых соотношениями (5.13.6) и (5.13.15), так что их можно записать аналогичным образом. Исключая теперь эти три скорости из правой части уравнения (5.13.17), получаем

где Искомая скорость определяется этим уравнением с учетом граничного условия на твердой стенке

и условия, выражающего тот факт, что при скорость стремится к постоянной.

Уравнение (5.13.18) формально определяет скорость установившегося течения, которое имеет эффективно неизменное

направление и возникло под действием массовой силы направленной вдоль х; эта сила определяется просто приращением количества движения в направлении оси х в единицу времени, обусловленным малыми колебательными движениями жидкости в направлении оси у. Функция медленно изменяется по х, но быстро по у и обращается в нуль вне пограничного слоя; это свидетельствует о том, что все поле рассматриваемого установившегося течения обусловлено эффективной касательной силой, действующей на жидкость в тонком слое вблизи границы. Поскольку быстро изменяется поперек пограничного слоя, величина также должна быстро изменяться по у; это означает, что распределение скорости имеет характерный для пограничного слоя вид. Следует отметить, что мы не предполагали, что число Рейнольдса вторичного установившегося движения велико и что вязкая диффузия завихренности, связанной с этим течением, является пренебрежимо малой везде, кроме окрестности границы. Скорость быстро изменяется поперек тонкого слоя вблизи границы, что следует из обычных рассуждений, а быстрое изменение величины поперек того же слоя обусловлено исключительно характером распределения эффективной массовой силы

Если ограничиться первым приближением скорости, т. е. то распределение скорости в пограничном слое определяется течением вне его. Однако для «поправочного» члена справедливо обратное утверждение. При интегрировании уравнения (5.13.18) величина неизвестна, и мы вынуждены взять в качестве внешнего граничного условия

что соответствует отсутствию причины быстрого изменения скорости установившегося течения вне пограничного слоя.

Решение уравнения (5.13.18) при этих граничных условиях было найдено Шлихтингом (1932), и оно сложным образом зависит от у. Наиболее интересное свойство этого решения состоит в том, что при величина отлична от нуля; сейчас мы убедимся в этом. Из (5.13.18) и приведенных выше граничных условий имеем

отсюда находим, что при где

Подставим в (5.13.19) выражение для из (5.13.18); после некоторых преобразований, положив где амплитуда А и фазовый угол у зависят только от х, получим

Это выражение определяет в точках на границе пограничного слоя величину средней скорости, которая обусловлена балансом между эффективной массовой силой действующей на жидкость вблизи границы, и силами вязкости, возникающими за счет изменения в поперечном направлении. Отношение (амплитуде флуктуаций скорости) имеет порядок т. е. мало по сравнению с единицей. Примечательно, что величина не зависит от вязкости жидкости.

Теперь мы можем, вообще говоря, определить распределение средней скорости во всей области вне пограничного слоя, используя в качестве граничного условия для этого распределения соотношение (5.13.20). Если вне пограничного слоя течение в точности безвихревое, то в нем не может существовать какое-либо установившееся течение, поскольку безвихревое движение полностью определяется нормальной компонентой мгновенной скорости границ и должно быть колебательным, как и движение границы. Однако имеет место медленный перенос завихренности от установившегося течения вблизи границы, и в конечном счете по прошествии некоторого промежутка времени после начала движения из состояния покоя во всей жидкости должна появиться установившаяся завихренность второго порядка малости. Вид уравнения, которому удовлетворяет средняя скорость в области вне пограничного слоя, зависит от эффективного числа Рейнольдса установившегося течения. С учетом (5.13.20) это число Рейнольдса можно записать как

где как и выше, представляет собой амплитуду колебаний твердого тела в тех случаях, когда эти колебания служат источником движения; выписанные величины могут быть либо меньше, либо больше единицы в соответствии с налагаемыми условиями (5.13.4) и (5.13.2) (или (5.13.3)). В первом случае перенос завихренности, связанной с установившимся течением, происходит главным образом за счет вязкой диффузии, а во втором случае всюду преобладает конвекция, за исключением некоторых тонких слоев, один из которых расположен на твердой границе и имеет толщину, намного большую толщины пограничного слоя первичного

колеблющегося течения. Соответствующие приближенные уравнения для описания этих двух случаев и решение этих уравнений мы здесь обсуждать не будем.