2. КИНЕМАТИКА ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ

2.1. Основные понятия

Гипотеза сплошной среды позволяет воспользоваться простым понятием локальной скорости жидкости, и нужно теперь обсудить вопрос о том, каким образом поле течения в целом можно представить в виде совокупности локальных скоростей жидкости. Возможны два различных представления. Первое, обычно называемое представлением Эйлера, аналогично определению электромагнитного поля, в котором параметры течения определяются как функции координат х и времени Основным параметром поля течения является вектор скорости жидкости, который записывается в виде Можно считать, что такое эйлерово представление течения дает картину распределения скорости жидкости в пространстве (и других параметров, например, плотности и давления) в процессе ее движения для любого момента времени.

Второе, или лагранжево, представление использует тот факт, что некоторые динамические и физические параметры, так же как и в механике частиц, относятся не только к определенным точкам пространства, но также (и это более существенно) и к определенным частицам. В этом случае параметры течения зависят от времени и от выбранного элемента жидкости и изучается изменение со временем динамических параметров этого выбранного элемента. Поскольку элементы жидкости изменяют форму при движении, нам нужно отождествить выбранный элемент так, чтобы его линейные размеры не затрагивались; один подходящий для этой цели способ состоит в том, чтобы определить элемент вектором а его центра масс в некоторый начальный момент времени в предположении, что первоначальные линейные размеры элемента достаточно малы, чтобы обеспечить их малость в любые последующие рассматриваемые моменты времени, несмотря на деформирование элемента. Поэтому основным параметром течения в представлении Лагранжа является вектор скорости

Представление Лагранжа полезно в некоторых специальных случаях, но оно приводит к довольно сложному анализу, и основной его недостаток состоит в том, что оно не дает непосредственно градиентов скорости жидкости. Нам нет необходимости систематически использовать это представление, и в дальнейшем в основном будет применяться представление Эйлера. Тем не менее остаются

важными понятия о жидких объемах, поверхностях и линиях, которые всегда состоят из одних и тех же частиц жидкости и движутся вместе с ними, и они часто будут использоваться в рамках эйлерова представления поля течения.

Итак, при анализе течения основной зависимой переменной будет функция а другие переменные течения, например давление, также будут рассматриваться как функции от

Когда скорость и не зависит от времени t, говорят, что течение установившееся (или стационарное).

Линия в жидкости, касательная к которой в любой ее точке параллельна направлению скорости и в данный момент времени t, называется линией тока; семейство линий тока в момент времени представляет собой решения системы уравнений

в которой компоненты скорости вдоль осей прямоугольной системы координат, а величины х, у, z - компоненты вектора х. В установившемся течении линии тока имеют одинаковую форму в любые моменты времени. Родственным понятием является трубка тока, которая представляет собой поверхность, образуемую в некоторый момент всеми теми линиями тока, которые проходят через данную замкнутую кривую в жидкости.

Траектория движения элемента жидкости вообще не совпадает с линией тока, хотя она совпадает с ней в том случае, когда движение установившееся. Кроме линий тока и траекторий, для целей наблюдения полезно определить линию отмеченных частиц, на которой расположены все те элементы жидкости, которые в некоторый более ранний момент времени проходили через определенную точку пространства; следовательно, когда краска или какое-либо другое помеченное вещество медленно выпускается в некоторой фиксированной точке в движущейся жидкости, видимая линия, возникающая в жидкости, и есть линия отмеченных частиц. Если течение установившееся, то линии отмеченных частиц, линии тока и траектории совпадают.

Говорят, что поле течения двумерное (или плоское), когда скорость в любой точке составляет прямые углы с определенным направлением и не зависит от перемещений, параллельных этому направлению. Поэтому всегда можно выбрать прямоугольную систему координат (х, у, z) таким образом, чтобы компонентами скорости и в двумерном течении были где и и» не зависят от z. Поле течения называется осесимметричным, если все компоненты скорости по отношению к цилиндрическим координатам (при соответствующем выборе направления линии не зависят от азимутального угла В некоторых осесимметричных полях азимутальная, или окружная,

компонента скорости всюду равна нулю и вектор скорости расположен в плоскости, проходящей через ось симметрии. В некоторых других полях течений только компонента отлична от нуля и линиями тока являются окружности с центром на оси симметрии.