Дифференцирование по направлению движения жидкости

Очевидно, что в установившемся поле течения элемент жидкости может иметь ускорение, когда скорость и изменяется вдоль его траектории. Производная не равна ускорению элемента в точке х в момент времени t, так как элемент находится в этом положении только в данный момент времени. Правильное выражение для ускорения элемента жидкости можно найти только учитывая, что элемент, находившийся в точке х в момент времени t, находится в точке в момент времени и что изменение его скорости за малый промежуток времени равно

Таким образом, ускорение элемента жидкости при есть

(Ускорение, конечно, весьма просто можно выразить, используя лагранжево представление поля течения; если скорость некоторого определенного элемента жидкости, то его ускорение равно

Аналогичные рассуждения можно применить к любой другой динамической или физической величине (обозначим ее, например, б), которая определяется как функция и характеризует определенное свойство жидкости в точке х в момент времени величина 6 может быть скаляром, таким, как локальная плотность или температура жидкости, или вектором, таким, как угловая скорость вращения частицы жидкости. Производная представляет собой локальную скорость изменения, возникающую в результате временных изменений в точке х; для того чтобы найти скорость изменения для элемента жидкости, нужно добавить конвективную скорость изменения обусловленную переносом этого элемента в другое положение.

Удобно ввести обозначение

такое, что, например, ускорение элемента жидкости можно записать в виде Оператор имеет смысл только в том случае,

когда он применен к полю переменной величины (т. е. к функции от и говорят, что он дает производную по времени, следящую за движением жидкости, или субстанциональную (полную) производную. Этот оператор часто появляется в дифференциальных уравнениях, выражающих законы сохранения, первым примером которых служит закон сохранения массы жидкости (§ 2.2). Если форма жидкой поверхности определяется уравнением

где величина, инвариантная для частицы жидкости на этой поверхности, то

В частности, уравнение любой поверхности, ограничивающей жидкость, должно удовлетворять уравнению (2.1.4).