Безвихревое соленоидалъное течение, вызываемое поступательным движением твердого тела

Так же как и в § 2.9, можно получить специальные выражения функции когда нормальная производная от на внутренней границе удовлетворяет простому условию

где скорость движения твердого тела, ограничивающего жидкость изнутри. Однозначная функция стремящаяся к нулю при также удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям, которые линейны и однородны относительно и определяют ее однозначно, поэтому функция должна иметь вид

Неизвестная функция не зависит от и зависит только от координат точки в жидкости относительно тела.

В частном случае тела в форме круга радиуса а с центром, расположенным в данный момент времени в начале координат, никакой вектор или направление не являются предпочтительными для выбранной формы границы. Следовательно, единственным среди системы решений (2.10.5), которое вместе с может иметь вид (2.10.8), является второе. Поэтому в рассматриваемом случае

где постоянная, а — полярные координаты, в направлении скорости Соответствующая скорость жидкости имеет компоненты

и удовлетворяет как внешним, так и внутренним граничным условиям, если

т. е. если

Это единственно возможное решение, когда функция однозначна. Заметим для дальнейшего использования, что если оси координат движутся вместе с цилиндром, а их начало расположено в его центре, то в этих осях

Если же в потоке вокруг тела, движущегося со скоростью имеется циркуляция х, то потенциал скорости можно записать

в виде суммы слагаемого представляющего собой течение, создаваемое тем же самым телом, движущимся со скоростью и нулевой циркуляцией вокруг него, и слагаемого описывающего течение с циркуляцией х вокруг того же самого тела в состоянии покоя; потенциал имеет выражение (2.10.8), а во всяком случае не зависит от и должен линейно изменяться по х, поэтому можно принять

где однозначная функция от х, не зависящая от х. Функция удовлетворяет уравнению Лапласа, имеет нулевой градиент на бесконечности и на поверхности тела удовлетворяет условию

поэтому она определяется единственным образом с точностью до аддитивной постоянной. В частном случае тела в форме круга с центром в начале координат (в данный момент времени) единственно возможный вид функции есть просто (например, так что в данном случае полный потенциал скорости

Линии тока и другие свойства этого и связанных с ним полей течения описаны в гл. 6.

Упражнения к главе 2

(см. скан)

(см. скан)