5.6. Установившееся двумерное течение в сужающемся или расширяющемся канале

Двумерное течение в области между двумя пересекающимися плоскими стенками дает другой пример взаимодействия эффектов конвекции и диффузии завихренности, возникающей на твердой границе. Стенки считаются неподвижными, а установившееся течение обусловлено наличием источника или стока жидкости в точке пересечения стенок; на практике такие точечные источники или стоки в плоском течении могут быть аппроксимированы либо небольшими отверстиями вблизи точки пересечения, через которые жидкость вытекает или втекает, либо путем соединения узкого конца канала с отсосной трубкой постоянного сечения. Наличие источника в точке пересечения стенок соответствует течению в расширяющемся канале, наличие стока дает течение в сужающемся канале. Для уравнений движения рассматриваемых течений известна система автомодельных решений в широком диапазоне значений угла между стенками и эффективных чисел Рейнольдса (впервые эти решения получили Джеффри (1915) и Гамель (1917)). Эти решения имеют сходство с решениями из § 4.6 для стационарной струи, порожденной точечным источником количества движения, так как и в том и в другом случаях компоненты скорости пропорциональны где расстояние от особой точки в этих течениях. Как и все автомодельные решения, эти решения полезны тем, что они дают динамически возможные распределения скоростей. В реальных течениях распределение скорости будет зависеть,

конечно, от конкретных условий вверх по потоку. Может оказаться, что в некоторых условиях приводимые ниже решения являются асимптотическими, справедливыми на достаточно больших расстояниях вниз по потоку от того сечения, где в действительности заданы условия; правда, этот вопрос еще не совсем ясен.

Мы будем использовать полярные координаты задавая две плоские стенки условием компоненты скорости обозначим соответственно через Будем искать решение для чисто радиального течения, тогда в силу уравнения сохранения массы должно быть

Подставляя это выражение для и в два уравнения движения в полярных координатах (см. приложение 2), полагая и исключая давление, находим

где штрихи означают дифференцирование по . Поскольку завихренность жидкости равна то три члена в уравнении (5.6.2) представляют вклады знаком минус) в скорость изменения завихренности в точке от конвекции, диффузии в окружном направлении и от радиальной диффузии соответственно. Решение этого уравнения должно удовлетворять граничным условиям прилипания

Кроме того, должны быть наложены условия, связанные с интенсивностью течения. Один из способов введения этих условий состоит в задании полного расхода жидкости от источника в начале координат

Так как некоторые из получаемых ниже решений соответствуют радиально расходящимся течениям, а другие — радиально сходящимся, то непосредственной мерой интенсивности течения может служить величина например значение один из локальных максимумов величины если существует только одно стационарное значение в области , то представляет собой максимальное значение скорости жидкости на расстоянии от начала координат. Величину можно считать числом Рейнольдса для течения, а поскольку а определяет ширину канала, то в качестве числа Рейнольдса можно взять а Положим

причем знак числа будет указывать направление течения для выбранного максимального значения

Для дальнейшего удобно ввести безразмерные переменные

тогда уравнение (5.6.2) запишется в виде

где теперь штрихи означают дифференцирование по Функция должна удовлетворять граничным условиям

Уравнение (5.6.5) можно проинтегрировать один раз в том виде, как оно записано, и еще один раз после умножения результата на Тогда

где с — одна из констант интегрирования, а другая должна быть определена условием (5.6.7). Дальнейшее интегрирование уравнения (5.6.8) требует введения эллиптических функций, что уже выходит за рамки нашего обсуждения Обе константы интегрирования, и с, и получаемая из граничных условий (5.6.6) при дальнейшем интегрировании, зависят от угла а и числа Рейнольдса. Константа с должна быть действительной и неотрицательной, поскольку при

Вид решения (5.6.8) зависит от расположения нулей многочлена, стоящего в фигурных скобках в (5.6.8), который мы обозначим через Если то ясно, что не имеет нулей при положительных значениях В этом случае при любом существует локальный максимум функции равный 1, так что кроме того, при Поскольку для имеем при то отсюда заключаем, что квадратичная функция не может обратиться в нуль в интервале для Возможное поведение функции показано на рис. 5.6.1, из которого следует, что в интервале между при любых функция изменяется монотонно. Это означает, что при любом направлении течения функция может иметь только один локальный максимум. Поскольку в пределах канала функция имеет единственный максимум, то он достигается при в силу симметрии решения относительно этого максимума.

Рис. 5.6.1. Схематическое представление функции с для различных значений

Попутно имеет смысл заметить, что здесь мы можем получить некоторое подтверждение гипотезы о течении одного направления, введенной в § 4.8 в связи с обсуждением течения между почти параллельными границами произвольной формы. В случае, когда

приближенное решение (5.6.8), удовлетворяющее граничным условиям, таково:

т. е. имеем параболическое изменение скорости поперек канала, как и при использовании упомянутой гипотезы. Кроме того, ограничение в точности совпадает с найденным в § 4.8, которое вводилось для того, чтобы была справедливой аппроксимация течения одного направления в слабо изменяющемся канале.

В данной главе нас особенно будут интересовать течения при больших числах Рейнольдса. Поскольку имеет порядок единицы, то при уравнение (5.6.5) можно записать приближенно в следующем виде:

т. е. членом, выражающим диффузию завихренности в направлении течения, можно пренебречь. В соответствии с этим уравнение (5.6.8) принимает приближенную форму

Таким образом, решение зависит только от единственного параметра а не от двух параметров

Ниже мы обсудим поведение решения уравнения (5.6.8) в каждом из двух случаев — при уделяя особое внимание течениям при больших значениях