4.6. Установившаяся струя из точечного источника количества движения

Перейдем теперь к менее простым полям течения и рассмотрим одно из немногих известных точных решений уравнения движения (4.1.8), не относящееся к течениям одного направления.

Сталкиваясь с трудностью решения нелинейного дифференциального уравнения с частными производными, имеет смысл попытаться найти частные решения, в которые все независимые переменные, кроме одной, либо вообще не входят, либо входят в некоторой простой комбинации, определяемой на основе теории размерностей, и тогда зависимость от остающейся переменной задается обыкновенным дифференциальным уравнением. Тривиальным примером этого может быть исключение из числа независимых переменных времени и угловой координаты посредством выбора установившегося течения со сферической симметрией относительно начала координат, когда в качестве независимой переменной остается только расстояние вдоль радиуса. В таком случае может быть отлична от нуля только радиальная компо нента скорости и и уравнение сохранения массы показывает сразу, что и в этом случае уравнение движения служит только для определения давления. Это простое решение имеет особенность в начале координат, которой физически соответствует установившийся источник массы.

Подобным же образом можно рассмотреть установившееся течение, симметричное относительно некоторой оси, сохраняя в качестве независимых переменных только (угол между радиусом-вектором и осью симметрии), и затем перейти к наложению таких дополнительных ограничений, чтобы зависимость решения либо от либо от стала очевидной. Поле течения, обсуждаемое в этом параграфе, может быть получено на основе предположения о том, что скорость жидкости изменяется по закону тогда зависимость ее от угла находится из обыкновенного дифференциального уравнения. Такой способ не является прямым в том смысле, что заранее неизвестно, какой вид имеет поле течения и имеет ли оно физический смысл, пока математическое решение не получено и не объяснено, хотя он может быть весьма полезным в опытных руках.

Предположим, что вращения жидкости относительно оси симметрии течения не происходит. Целесообразно ввести стоксову функцию тока тогда получаем выражения для компонент скорости в сферической системе координат

а уравнение сохранения массы удовлетворяется тождественно (см. § 2.2). Дополнительное ограничение, которое нужно наложить

в надежде, что уравнения движения можно будет решить, заключается в том, что компоненты скорости изменяются по закону следовательно, На этом основании можно написать

причем множитель введен для того, чтобы сделать искомую функцию безразмерной.

Теперь уравнения установившегося осесимметричного движения без азимутальной закрутки см. приложение 2) в сферической системе координат записываются в форме

где

Если в эти два скалярные уравнения вместо подставить их выражения (4.6.1) с учетом (4.6.2), то тогда все члены, за исключением содержащих давление умножаются на одинаковую степень величины в этом проявляется специальное свойство представления (4.6.2), на котором основывается выбор именно первой степени в правой его части. Переменную можно исключить из уравнения движения, если принять

где давление на больших расстояниях от начала координат; после этого уравнения (4.6.3) и (4.6.4) сводятся к двум обыкновенным уравнениям

где а штрихом отмечено дифференцирование по

Исключая функцию из уравнений (4.6.6) и (4.6.7) и интегрируя их три раза, находим

где произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, примененный способ позволил получить решение уравнений движения (мы считаем, что дифференциальное

Рис. 4.6.1. Линии тока течения для (величины измерены в соответствующих единицах; ось абсцисс совпадает с осью симметрии).

уравнение (4.6.8) можно решить численно, если это необходимо) и теперь нужно дать его объяснение. Три постоянные находятся пока в нашем распоряжении для получения частных полей течения, которые представляют интерес с физической точки зрения. Если мы хотим, чтобы течение не имело особенностей на оси симметрии, за исключением точки в которой, как это видно из выражений (4.6.1) и (4.6.2), особенность неизбежна, то компонента скорости на оси должна быть равна нулю, а функция вблизи значения должна вести себя как а вблизи как ; при этом функция в левой части уравнения (4.6.8) должна изменяться как вблизи и как вблизи что невозможно для функции в правой части, если только все постоянные не равны нулю. Таким образом, течение с минимальным числом особенностей на оси, по-видимому, вообще самое простое течение из числа рассматриваемых, определяется уравнением

Преобразование дает

отсюда получается решение уравнения (4.6.9)

где с — произвольная постоянная.

Характер течения, описываемого выражениями (4.6.1) и решении (4.6.10) (изученного впервые Ландау (1944) и независимо от него Сквайром (1951)), виден из формы семейства линий тока (рис. 4.6.1), построенных для случая

Рис. 4.8.2. Линжи тока для и для с (величины измерены в соответствующих единицах; ось абсцисс совпадает с осью симметрия).

Очевидно, что это решение представляет собой струю, которая движется с большой скоростью из начала координат и подсасывает медленно движущуюся окружающую жидкость. Границу струи проще всего определить как поверхность с минимальным расстоянием линий тока от оси, и из решения (4.6.10) легко видеть, что эта граница соответствует постоянной величине где

для линий тока, изображенных на рис. Когда значение с задано, отношение зависит только от 0, так что все линии тока на рис. 4.6.1 имеют одинаковую форму, причем одна получается из другой путем изменения масштаба Таким образом, чтобы показать поля течения, соответствующие разным значениям с, вполне достаточно построить по одной линии тока для каждого значения с, как это сделано на рис. 4.6.2. По мере приближения с к нулю струя все более концентрируется вблизи оси симметрии.

Распределение скоростей не имеет никаких особенностей, за исключением начала координат, и давление на больших расстояниях от начала координат распределено однородно. Поэтому особенность при которая, очевидно, влияет на движение в целом, должна быть исследована более тщательно. Струя может существовать только тогда, когда некоторый внешний источник непрерывно сообщает жидкости необходимое количество

движения, и очевидно, что именно это делает особенность в точке обеспечивая пропорциональность скорости жидкости величине Чтобы убедиться в этом, воспользуемся уравнением количества движения в интегральной форме, как было описано в § 3.2. Жидкость, находящаяся в данный момент вне замкнутой поверхности, окружающей начало координат, действует на жидкость внутри этой поверхности с силой а поток количества движения в направлении внешней нормали к этой поверхности имеет величину величина

при установившемся движении равна силе, действующей на выделенную жидкость со стороны ее внутренних границ. Приложение формулы Остроградского — Гаусса показывает, что так как рассматриваемое течение установившееся, то сила имеет одно и то же значение для любых двух замкнутых поверхностей, окружающих начало координат, независимо от их формы, что и можно было ожидать.

Чтобы вычислить силу выберем замкнутую поверхность в виде сферы радиуса с центром в начале координат. В силу симметрии только осевая компонента силы отлична от нуля, и для нее имеем формулу

в которой индексы и относятся к компонентам в положительных направлениях координатных линий Используя формулы для , приведенные в приложении 2, и выражения (4.6.1), (4.6.2) и (4.6.5), находим 1

Наконец, с учетом выражения (4.6.6) и решения (4.6.10) после некоторых элементарных вычислений получаем

Таким образом, сила действующая на жидкость в начале координат, однозначно связана с постоянной с в решении (4.6.10), и из этого следует, что все влияние особенности в начале координат сводится к этой силе.

Рис. 4.6.3. Соотношение между силой, приложенной в начале координат, и полууглом возникающей струи.

Следует отметить, что так как то никакого результирующего потока массы через любую замкнутую поверхность, окружающую начало координат, нет; особенность при представляет собой источник только количества движения, а не массы.

Выражение силы (4.6.12) можно представить в другой форме, в зависимости от полуугла 90 конической границы струи,

которая графически изображена на рис. 4.6.3. Для больших значений струя становится быстрой и узкой и формула (4.6.13) заменяется приближенной

При тех же условиях течение внутри струи, где описывается асимптотической формой решения (4.6.10), т. е.

а далеко вне струи, где приближенным выражением

Радиальная компонента скорости, соответствующая выражению (4.6.16), равна это скорость втекающего потока

жидкости, который компенсирует убывание жидкости, подсасываемой струей.

Легко убедиться из вычислений, приводящих к выражению (4.6.12), что при малых основной вклад в силу (а именно первый член в (4.6.12)) вносит поток количества движения. Этот факт дает возможность оценить силу для реальной струи, вытекающей из малого отверстия. Если жидкость вытекает из отверстия площадью А с однородной скоростью V, имеем

эта величина должна быть большой по сравнению с единицей, чтобы оценка силы была правильной. Массовый расход через отверстие равен и асимптотические решения (4.6.15) и (4.6.16) для данного (большого) значения дают все лучшее приближение к реальному течению, порождаемому струей из отверстия, по мере того как скорость V возрастает (или, что эквивалентно, по мере того, как площадь отверстия А уменьшается). Массовый расход в струе, определяемый приближенным решением (4.6.15), на расстоянии от источника имеет порядок и поэтому представляется возможным, что струя с профилем скорости, задаваемым выражением (4.6.15), который развивается на некотором расстоянии вниз по потоку от действительного источника, будет такой, как если бы она образовалась в точке на расстоянии порядка вверх по потоку от отверстия.

Безразмерный параметр как видно из приближенного равенства (4.6.17), по существу представляет собой число Рейнольдса для течения вблизи отверстия; трактовка этого числа в § 4.7 делает понятным, что силы вязкости не могут затормозить и рассеять концентрированную струю из отверстия, когда

В другом крайнем случае с близко к 90°. Соответствующее асимптотическое выражение для функции получаемое из точного решения (4.6.10), имеет вид

исходя из выражения (4.6.12), можно установить зависимость между постоянной с и силой приложенной в начале координат:

Следовательно, в этом асимптотическом случае функция тока

Тело, движущееся через жидкость, оказывает на нее силовое воздействие, и если скорость тела достаточно мала, так что точку приложения силы по существу можно считать неподвижной, то следует ожидать, что выражение (4.6.18) имеет некоторое отношение к течению, вызываемому телом. В § 4.9 будет показано, что функция тока (4.6.18) действительно описывает результирующую картину течения на больших расстояниях (где форма тела значения не имеет) от движущегося тела, действующего на жидкость с силой при условии, что сила мала по сравнению с