Течение над неровной поверхностью Земли

Непосредственное влияние медленного изменения толщины слоя в зависимости от координат, как это следует из уравнения (7.7.8), состоит в изменении высоты и, следовательно, вертикальной компоненты абсолютной завихренности жидкого вертикального цилиндра малого поперечного сечения при его движении. Таким образом, когда масса жидкости движется по поднимающемуся основанию, абсолютная завихренность уменьшается по величине, а относительная завихренность изменяется, уменьшаясь в северном полушарии и возрастая в южном. Это изменение завихренности относительно поверхности Земли может привести к заметному отклонению потока, движущегося по наклонному основанию.

В качестве простого примера влияния неровного основания рассмотрим установившееся течение через горный хребет, который имеет прямолинейные параллельные контуры высот (образующие) и расположен на некоторой высоте над основанием, где толщина слоя жидкости равна Предположим сначала, что горизонтальная протяженность поля течения достаточно мала, чтобы можно было считать, что течение происходит в плоском слое с постоянным значением параметра Кориолиса Направление хребта на поверхности Земли несущественно, и мы можем считать его для удобства совпадающим с направлением оси у (рис. 7.7.2). Поток, приближающийся к хребту, имеет, по предположению, нулевую относительную завихренность и постоянную скорость с компонентами а сила Кориолиса будет уравновешиваться постоянным градиентом давления. В точке над гребнем, где толщина слоя равна относительная завихренность а» определяется равенством

Ясно, что компоненты скорости не зависят от у, так что имеем

и

Рис. 7.7.2. Отклоняющее действие горного хребта на однородный поток с компонентами скорости относительно вращающейся системы координат. 1 — горный хребет; поперечное сечение хребта заштриховано.

Компонента и скорости определяется из уравнения сохранения массы

Влияние возвышающегося хребта, таким образом, выражается в отклонении набегающего однородного потока в правую сторону (в северном полушарии) от направления движения. В области вниз по потоку от хребта компонента скорости вдоль оси х вновь становится равной ее невозмущенному значению, а компонента вдоль оси у принимает постоянное значение где

— площадь поперечного сечения хребта. Следовательно, тангенс результирующего угла отклонения потока по часовой стрелке равен

Для хребта средней высоты 2 км и ширины при мы имеем т. е. отклоняющее влияние даже такого большого хребта можно считать несущественным при рассмотрении атмосферных движений, однако для океанических течений, где скорости намного меньше атмосферных, оно будет значительным.

Влияние на поток возвышения (изолированного горного образования), имеющего конечную площадь в горизонтальной плоскости, можно учесть, рассматривая его как область с отрицательной завихренностью (в северном полушарии); величина завихренности а» в любой точке этой области определяется в случае однородного набегающего потока соотношением (7.7.15). (Следует заметить, что число Россби течения не должно быть слишком малым, поскольку тогда поток будет просто обтекать «столб Тейлора» над горой!) Дополнительное течение, обусловленное наличием этой горы, представляет собой установившееся циркуляционное движение по часовой стрелке; циркуляция по любому замкнутому контуру, охватывающему гору, равна

последний интеграл — это объем горы, возвышающейся над основанием, над которым течет слой жидкости толщиной Влияние горы на скорость воздуха или воды едва ли можно обнаружить на практике, однако сила Кориолиса, связанная с указанным антициклоническим циркуляционным движением, вызывает повышение давления над горой (как в северном, так и в южном полушариях); в атмосферных течениях этот эффект иногда наблюдается.

Предположим теперь, что горизонтальная протяженность рассматриваемого поля течения такова, что отношение сравнимо по величине с хотя все еще много меньше Как было выяснено ранее, по-прежнему можно считать, что жидкость движется в плоском слое, и использовать для описания движения прямоугольные координаты (х, у) и соответствующие им компоненты скорости Однако мы теперь должны предусмотреть изменение параметра Кориолиса в зависимости от широты; для этого мы можем воспользоваться приближенным линейным соотношением (7.7.11), направив ось у на север. Одновременный учет влияния топографии основания и переменности параметра Кориолиса усложняет нашу задачу, однако мы можем выявить основные новые черты явления, перейдя к обсуждению упрощенного течения над длинным горным хребтом. Здесь снова удобно рассматривать набегающий поток с постоянной скоростью, скажем и это вынуждает нас выбрать направление движения вдоль широты, т. е. параллельным оси х. Относительная завихренность со элемента жидкости в точке (х, у) над хребтом, где толщина слоя равна , определяется из уравнения

где значение координаты у того же элемента жидкости при достижении им хребта.

Рис. 7.7.3. Ливии тока при обтекании ступеньки, направленной с севера на юг, однородным западным ветром ).

Теперь скорость уже не будет одинаковой во всех точках прямой, параллельной хребту, и нам придется рассматривать все поле течения. Чтобы получить упрощенное представление о поле такого течения, рассмотрим «хребет» в форме ступеньки или скачкообразное изменение толщины слоя от значения до вдоль меридиана (рис. 7.7.3). На этой ступеньке компоненты скорости изменяются разрывно от до где а относительная завихренность изменяется от до

В области толщина слоя постоянна, так что

и мы можем ввести функцию тока Течение в этой области установившееся, и, следовательно, величина зависит только от функции тока Но при (двигаясь из области мы имеем и

причем это соотношение между должно выполняться во всей области Следовательно, в этой области

где

Наш выбор упрощающих предположений привел к линейному уравнению для Одно из решений, которое содержит линейную зависимость от у, требуемую условиями при имеет вид

где а — постоянная, удовлетворяет уравнению

Чтобы получить заданные компоненты скорости и функцию тока при нужно положить

и

Полное решение для теперь можно выписать в явном виде:

На рис. 7.7.3 показаны линии тока для случая Различные линии тока отличаются по форме только за счет изменения масштаба в направлении у вследствие различия значений параметра Кориолиса на разных линиях тока. Если то решение (7.7.21) дает компоненты скорости, найденные выше (см. (7.7.16)) для потока через хребет при постоянном параметре Новая особенность решения (7.7.21) состоит в его периодичности по х при действительных значениях т. е. при Влияние топографии дна в этом простом примере заключается лишь в образовании ненулевой относительной завихренности при следовательно, в отклонении потока в южном направлении; волновой характер линий тока в области вниз по потоку от ступеньки обусловлен непостоянством параметра Кориолиса. Как длина волны в направлении оси х, так и отклонение линии тока по оси у не являются малыми величинами. Длина волны равна

что составляет около на широте 45° при Отклонение в южном направлении линии тока, проходящей через начало координат, составляет

Для линии тока, начинающейся на широте 45°, это расстояние соответствует диапазону широт радиан (и при оно равно или 9,5° широты).

Можно также определить функцию тока течения в области вниз по потоку, возникающего в том случае, когда на пути потока в восточном направлении есть вторая ступенька вдоль меридиана, понижающая основание до уровня, соответствующего первоначальной толщине слоя жидкости Это поле течения зависит от скорости, с которой жидкость подходит ко второй ступеньке, и, таким образом, зависит от расстояния между ступеньками.

Для потока, подходящего к ступеньке в западном направлении, скорости отрицательны и (это справедливо в обоих полушариях). Согласно полученному выше решению, координата у вдоль линии тока в области зависит теперь от х по экспоненциальному закону. Ниже мы обсудим физическую причину этого коренного отличия между влиянием ступенек на течения в восточном и западном направлениях.