7.8. Вихревая система крыла самолета
Общие свойства пространственного обтекания тел при наличии подъемной силы
Если в двумерном безвихревом течении, обусловленном поступательным движением тела в покоящейся жидкости, циркуляция вокруг тела отлична от нуля, то на тело действует поперечная сила (§ 6.4). Мы видели (§ 6.7), что если двумерный профиль — тонкое тело с закругленной передней частью и острой кормовой кромкой — находится в установившемся движении в жидкости под небольшим углом атаки, то влияние вязкости на возникающее течение при большом числе Рейнольдса приводит к образованию циркуляции вокруг профиля; ее величина в точности равна тому значению, которое требуется, чтобы переместить кормовую критическую точку на острую кромку профиля и исключить отрыв пограничного слоя на верхней и нижней частях профиля (гипотеза
Н. Е. Жуковского). Это сочетание двух факторов — наличия поперечной силы, величину которой можно предсказать, и отсутствия отрыва пограничного слоя (что обеспечивает относительно небольшую силу сопротивления) — нашло многочисленные практические приложения в аэронавтике.
Обсуждение в § 6.7 свойств профилей и соответствующих полей течений было ограничено двумерными задачами. Теперь мы перейдем к более реалистическому случаю пространственных течений, возникающих при установившемся поступательном движении тела конечных размеров, на которое действует боковая, или подъемная, сила. Удобно воспользоваться терминологией теории крыльев — тонких тел, специально сконструированных для получения большой подъемной силы при малой силе сопротивления (в определенном положении их относительно направления движения); однако многие идеи и рассуждения качественно применимы и к течениям, которые возникают при поступательном движении произвольного тела, имеющего не более чем одну плоскость симметрии в направлении движения.
Напомним один результат из § 6.4, состоящий в том, что если течение, вызванное установившимся поступательным движением трехмерного тела, всюду безвихревое, то равны нулю как сила сопротивления, так и поперечная сила, действующая на тело. Таким образом, в рассматриваемых здесь условиях существование завихренности в жидкости неизбежно. Для хорошообтекаемого тела с острой кормовой кромкой и при безотрывном обтекании завихренность, возникающая на поверхности тела, сносится вниз по потоку в тонком следе (или пелене), толщина которого определяется вязкостью жидкости. Поперек этой вихревой пелены давление изменяется непрерывно, а поскольку постоянная Бернулли одна и та же во всей области безвихревого течения, то заключаем, что одинакова и величина скорости (относительно тела) в смежных точках по обе стороны от пелены. Таким образом, делаем вывод, что для двумерного течения вихревая пелена представляет собой тонкий след, содержащий завихренность обоих знаков, результирующее влияние которой на поле течения уменьшается с увеличением числа Рейнольдса, а толщина пелены стремится к нулю. Для трехмерного же течения имеется возможность изменения направления вектора скорости в пелене, что связано с наличием в ней компоненты завихренности, параллельной направлению потока. Следовательно, нам необходимо изучить связь между существованием компоненты завихренности в направлении потока на поверхности тока, простирающейся вниз по потоку от задней кромки трехмерного тела, и возникновением поперечной силы, действующей на это тело.
Эта связь очевидна из рассмотрений общей формы линий тока при установившемся обтекании плоского крыла с положительным
Рис. 7.8.1. Возникновение завихренности вниз по потоку от крыла вследствие подсасывания жидкости на концах крыла с нижней стороны повышенного давления на верхнюю. Завихренность в спутнои потоке имеет циркуляцию на участке 
против часовой стрелки относительно направления течения, а на участке 
по часовой стрелке.
углом атаки. Наблюдение показывает, что на нижней поверхности крыла, обращенной к набегающему потоку, давление больше, чем на верхней «подсасывающей» поверхности, вследствие чего и возникает подъемная сила. (Этого следует ожидать по теории двумерного профиля; для крыла с большим отношением размаха к хорде течение вблизи середины крыла приближенно соответствует двумерному обтеканию.) Отмеченная выше разность давлений приводит к тому, что на обоих концах крыла жидкость будет стремиться перетекать с нижней стороны крыла на верхнюю, как показано схематически на рис. 7.8.1. Возникающее при этом количество движения жидкости в направлении размаха крыла сохраняется, когда жидкость уносится вниз по потоку от крыла, что и соответствует «спутной» завихренности на поверхности тока, сходящей с острой кромки крыла. Эта завихренность имеет разные знаки по обе стороны от вертикальной плоскости симметрии, проходящей через середину крыла, и спутную вихревую пелену можно представить приближенно в виде двух полубесконечных вихревых нитей с таким направлением циркуляции, что каждая из них движется вниз под действием другой. Полный импульс сил, требуемый для порождения этого движения жидкости в поперечной плоскости (нормальной к направлению полета), направлен вниз.
Завихренность, направленная по потоку и распространяющаяся за крылом, как видно, служит посредником в процессе непрерывного порождения направленного вниз количества движения жидкости в результате воздействия крыла на жидкость. Имеется еще одно фундаментальное следствие существования этой спутной завихренности. Возникновение кинетической энергии движения жидкости в поперечной плоскости по мере непрерывного увеличения пройденной крылом длины пути должно быть обусловлено работой, совершаемой движущимся крылом, так что на крыло, очевидно, должна действовать сила сопротивления. Это — индуктивное
Рис. 7.8.2. Линии тока двумерного движения непосредственно после приложения распределенного вдоль отрезка 
импульса силы, направленного вниз.
сопротивление, кратко рассмотренное в § 5.11. Как и подъемная сила, оно возникает вследствие порождения завихренности на твердой поверхности и имеет величину, которая, во всяком случае для тел, на которых пограничный слой не отрывается до острой кормовой кромки, определяется формой тела и не зависит от вязкости жидкости.
Более ясное представление о спутной системе вихрей можно получить путем рассмотрения тесно связанного с ней двумерного течения, в котором движение возникает из состояния покоя под действием импульса силы, распределенного вдоль отрезка 
(рис. 7.8.2). Этот отрезок представляет собой поперечное сечение тонкого крыла плоскостью, нормальной направлению полета, а движение жидкости в различные моменты времени после приложения импульса приближенно соответствует движению жидкости в такой поперечной плоскости на различных расстояниях вниз по потоку от движущегося крыла. Фактическое распределение импульса сил на отрезке А В связано с тем, каким образом движущееся крыло действует на жидкость, что зависит от точной формы крыла и его положения; однако очевидно, что линии тока течения жидкости непосредственно после приложения импульса будут иметь вид, показанный на рис. 7.8.2.
В результате приложения импульса сил на отрезке А В возникает вихревой слой (поскольку такое распределение приложенной силы не удовлетворяет условиям теоремы Кельвина о циркуляции), и в соответствии с общими результатами из § 7.2 и 7.3 заключаем, что при заданном распределении импульса сил на отрезке А В величина завихренности в любой его точке изменяется линейно в зависимости от величины полного импульса; этот импульс обозначим через 
С другой стороны, кинетическая энергия изменяется как квадрат завихренности (см. 
оно действует с силой 
направленной вниз, на жидкость между параллельными поперечными плоскостями, отстоящими на единичном расстоянии друг от друга, в течение интервала времени 
так что полный импульс I в нашей аналогии представляется величиной 
. В течение того же самого интервала времени движущееся крыло совершает работу 
для преодоления индуктивного сопротивления 
и эта величина определяется кинетической энергией двумерного движения в рассматриваемой аналогии. Отсюда следует, что
