5. ТЕЧЕНИЕ ПРИ БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ РЕЙНОЛЬДСА: ЭФФЕКТЫ ВЯЗКОСТИ

5.1. Введение

В этой главе будет продолжено обсуждение течения вязкой несжимаемой жидкости с постоянной плотностью.

Величины кинематической вязкости воздуха и воды настолько малы, что для большинства практически важных течений, встречающихся в природных условиях, технике или лабораторных исследованиях, числа Рейнольдса намного превышают единицу. Так, величина достигается в воздухе при температуре и весьма умеренном значении произведения а в воде — всего лишь при здесь характерные величины изменения скорости и линейного размера, на котором происходит изменение скорости в рассматриваемом течении. Столь малые значения произведения так легко и часто превышаются в реальных условиях, что течение при большом числе Рейнольдса следует считать обычным явлением.

Как было установлено в § 4.7, порядок величины числа непосредственно влияет на относительную величину различных членов в уравнении движения. Если обе безразмерные величины имеют порядок единицы почти во всем поле течения, за исключением, конечно, некоторых простых течений, таких, как, например, установившееся прямолинейное течение в трубе, для которого ускорение жидкости всюду равно нулю, то число Рейнольдса является мерой отношения сил инерции и вязкости в жидкости; поле течения, для которого во всем течении, характеризуется, по-видимому, тем свойством, что в нем силы инерции намного превышают силы вязкости. Таким образом, исследование течения при большом числе Рейнольдса естественно проводить на основе предположения, что силами вязкости в уравнениях движения можно пренебречь. Такой подход оставался общепринятым на протяжении длительного периода в истории механики жидкостей, и, как следствие этого, теория течения невязкой жидкости достигла высокого уровня развития.

Однако с учетом имеющихся результатов наблюдений предположение о том, что течение при больших числах Рейнольдса является приближенно таким же, как и течение невязкой жидкости, нельзя считать полностью оправданным. В частности, в рамках

теории невязкой жидкости совершенно невозможно объяснить существование обратного течения жидкости за стационарными препятствиями в потоке — явление, которое служит характерной чертой течений при всех (кроме очень малых) числах Рейнольдса и для всех видов препятствий (кроме очень тонких тел, расположенных вдоль потока). Мы знаем теперь, что поведение гипотетической жидкости с нулевой вязкостью должно резко отличаться от поведения жидкости с малой, но не нулевой вязкостью и что течение реальной жидкости при очень больших числах Рейнольдса нельзя считать слегка измененной формой течения невязкой жидкости (за исключением весьма специальных случаев).

Причина указанного различия характера течений реальной и невязкой жидкостей обычно связана с неодинаковым поведением этих жидкостей вблизи твердых границ. Реальная жидкость удовлетворяет условию прилипания на твердых границах (поскольку она обладает хотя бы небольшой вязкостью), тогда как невязкая жидкость не удовлетворяет этому условию. Мы не можем обойти эти физические различия в поведении жидкостей путем введения условий прилипания при математическом описании течения невязкой жидкости. Дело в том, что пренебрежение силами вязкости в уравнении движения (4.1.6) понижает порядок этого дифференциального уравнения на единицу и одно из граничных условий становится, следовательно, излишним.

Мы увидим в этой главе, каким образом сохранение условия прилипания жидкости на твердых границах в течении при больших числах Рейнольдса может оказать существенное влияние на течение в целом; тем самым подтверждается, за исключением особых случаев, неприемлемость предположения о невязкой жидкости. В то же время нас особенно будут интересовать условия, при которых поведение реальной жидкости должно приближенно совпадать с поведением невязкой жидкости, поскольку некоторые свойства невязкого потока (в особенности нулевое сопротивление тел в таких потоках) оказываются практически важными в самолетостроении и других областях техники, связанных с движением тел в жидкостях. К тому же надо учитывать многочисленные результаты математической теории невязкой жидкости, которые хотелось бы применить для исследования течения реальных жидкостей.

В этой главе нам иногда придется использовать теорему Бернулли (§ 3.5) для установившегося изэнтропического невязкого течения, поэтому для удобства читателей мы дадим здесь ее вывод (в случае однородной несжимаемой жидкости). С учетом векторного тождества уравнение движения жидкости с постоянными плотностью и вязкостью (см. (4.1.6)) можно записать в следующем виде:

Рис. 5.2.1. Часть вихревой линии.

завихренность жидкости, проходящей через данную точку, непостоянна. Не нуждается в пояснении и член ибо он представляет скорость изменения за счет молекулярной диффузии завихренности точно так же, как в уравнениях движения член представляет ускорение, обусловленное диффузией скорости (или количества движения). Завихренность, или угловая скорость жидкости, на первый взгляд не кажется величиной, которая может переноситься от одной части жидкости к другой посредством молекулярного движения, однако ввиду того, что как компоненты скорости и во всех точках жидкости, так и производные от и по координатам обладают этим свойством, в действительности этим свойством обладает и завихренность.

Член из уравнений (5.2.1) и (5.2.2) не имеет себе подобного в уравнении количества движения и дает своеобразное изменение завихренности. Смысл этого члена станет ясным, если его переписать следующим образом:

отрезок соединяет две соседние точки некоторой вихревой линии (рис. 5.2.1), а скорость жидкости в точке относительно точки Соответствующий вклад в скорость изменения завихренности по времени, т. е.

в точности выражается скоростью изменения по времени направленного элемента жидкой линии, проведенного от точки к где считаются теперь материальными точками (ср. (3.1.3)). Поведение подобно поведению элемента жидкой линии, в некоторый момент времени совпадающему с участком вихревой линии, так что изменение величины можно представить в виде суммы двух слагаемых: одно связано с поворотом линейного элемента как твердого тела (оно обусловлено компонентой скорости

нормальной к а другое — с растяжением или сжатием линейного элемента (оно вызвано компонентой скорости параллельной вектору

Необходимо отметить, что в случае двумерного движения завихренность всюду нормальна к плоскости движения и уравнение (5.2.2) в этом случае сводится к скалярному

которое имеет такую же форму, как и уравнение для плотности некоторого содержащегося в жидкости вещества, переносимого жидкостью и диффундирующего в ней (см. (3.1.17)). Другой случай, в котором это течение постоянного направления, поскольку для скорости , где и зависит от прямоугольных координат в перпендикулярной движению плоскости, векторы

ортогональны.

Продолжим обсуждение первого члена в правой части уравнения (5.2.2). Тот факт, что величина изменяется подобно вектору, представляющему собой элемент жидкой линии, который в данный момент времени совпадает с участком вихревой линии, можно интерпретировать при помощи понятия потока завихренности через элемент жидкой поверхности. Для элемента жидкой поверхности, который в данный момент времени находится в точке х, поток завихренности равен конечно, совпадает с циркуляцией по замкнутому контуру, ограничивающему этот элемент поверхности. Скорость изменения потока завихренности через элемент определяется выражением

которое с использованием (3.1.6) (при постоянном и (5.2.2) преобразуется к следующему:

Отсюда можно заключить, что поток завихренности через элемент жидкой поверхности изменяется только вследствие молекулярной диффузии; изменения величины и направления элемента оказывают некоторое влияние на поток завихренности, которое в точности компенсируется изменениями обусловленными первым членом в правой части уравнения (5.2.2).

Мы можем проинтегрировать (5.2.5) по произвольной незамкнутой жидкой поверхности и в результате найти скорость изменения циркуляции по ограничивающему поверхность контуру. Однако

более полезно начать с определения циркуляции. Циркуляция по замкнутому жидкому контуру равна

а в качестве элемента интегрирования может быть взят элемент 61 жидкой линии, скорость изменения которого равна в соответствии с процедурой, описанной в § 3.1. Тогда получим

поскольку плотность постоянна. Предполагая, что а также, что однозначная функция координат (например, если сила тяжести) подобно функциям имеем

Это соотношение, очевидно, согласуется с (5.2.5). Действительно, если взять замкнутую жидкую кривую, для которой существует открытая поверхность, ограниченная этой кривой и лежащая в жидкости (такая кривая обычно называется стягиваемой, см. § 2.6), то, интегрируя (5.2.5) по такой жидкой поверхности и применяя теорему Стокса, мы снова получаем в точности соотношение (5.2.7). Соотношение (5.2.7) фактически несколько сильнее, чем (5.2.5); в самом деле, в случае замкнутых нестягиваемых жидких кривых (например, таких, которые охватывают твердое цилиндрическое тело бесконечной длины) интегрирование (5.2.5) по открытой поверхности, ограниченной двумя нестягиваемыми жидкими кривыми, приводит к утверждению, что величина

принимает одно и то же значение для всех таких замкнутых кривых, тогда как, согласно (5.2.7), это общее значение равно нулю. Различие возникает из-за того, что при выводе соотношения (5.2.7) использовано предположение об однозначности потенциала сил как функции координат, а при выводе (5.2.1) и (5.2.5) это предположение не использовалось. Вследствие этого в (5.2.1) и (5.2.5) допускается возможность возникновения циркуляции (но не завихренности), обусловленной массовыми силами более общего вида, чем сила тяжести, действующими на жидкость в многосвязной области. Подходящим примером являются электромагнитные массовые силы (при определенных условиях);

например, в плоском сосуде с ртутью можно воспроизвести безвихревое движение с круговыми линиями тока, обусловленное действием радиального электрического поля между внутренней и внешней граничными цилиндрическими стенками сосуда при наличии магнитного поля, нормального к поверхности ртути. В данной главе мы предполагаем, что на жидкость действуют только массовые силы, имеющие однозначный потенциал.

Интересное и существенное свойство соотношения (5.2.7) состоит в том, что циркуляция С не зависит от условий в точках, расположенных вдали от замкнутой жидкой кривой. Ни силы тяжести, ни силы давления не оказывают какого-либо прямого воздействия на циркуляцию С, и лишь силы вязкости, действующие в окрестности жидкой кривой, могут изменить величину С. С этими фактами в упрощенном виде мы столннулись при обсуждении в § 4.5 течения с круговыми линиями тока, для которого молекулярная диффузия завихренности в радиальном направлении в точности соответствует угловому ускорению жидких колец жидкости под действием пары сил, к которой сводятся силы вязкости. При более общих условиях процесс диффузии завихренности, по-видимому, должен быть более сложным вследствие того, что вектор. Однако каждая компонента вектора (относительно прямоугольной системы координат) диффундирует как скалярная величина, подобная, например, температуре, и сложность процесса диффузии в значительной степени является кажущейся.

В случае изменений потока завихренности через элемент жидкой поверхности, описываемых соотношением (5.2.5), мы видим, что только диффузия компоненты вектора в данный момент параллельной элементу изменяет величину потока. В случае же изменений циркуляции по замкнутому жидкому контуру, описываемых соотношением (5.2.7), мы можем наблюдать процесс диффузии более детально, выбрав в некоторой точке замкнутого контура в качестве оси прямоугольной системы координат ось, параллельную линейному элементу 61 в этой точке. Тогда вклад в правую часть соотношения (5.2.7) от этого линейного элемента

явно состоит из вклада от диффузии компоненты определяемого градиентом в направлении оси (при движении в этом направлении компонента переносится поперек линейного элемента), и вклада от диффузии компоненты определяемого градиентом в направлении оси знаки этих вкладов определяются потоком завихренности через поверхность, охватываемую контуром.

Наконец, небезынтересно напомнить, что оба соотношения (5.2.1) и (5.2.7) были получены в предположении, что жидкость имеет постоянную плотность. Если жидкость неоднородна, хотя и остается несжимаемой, то выражения для величин должны содержать члены, вызванные неодинаковым действием градиентов силы тяжести и давления на элементы жидкости различной плотности. Возникновение завихренности и циркуляции под действием силы тяжести на неоднородную жидкость — один из важных процессов, происходящих в атмосфере, где изменения плотности обусловлены тепловыми эффектами.