6.4. Общие свойства безвихревого течения, обусловленного движущимся твердым телом

Соленоидальное безвихревое течение, вызываемое твердым телом, движущимся в жидкости, которая простирается во всех направлениях до бесконечности и покоится там, возникает часто как в теоретических, так и практических задачах и имеет особое значение. Результаты расчета такого течения можно непосредственно применить к течениям при большом числе Рейнольдса, когда отрыв пограничного слоя не происходит (к ним относятся обтекание тонких тел, движущихся параллельно своей оси, и тел произвольной формы, начинающих ускоренное движение из состояния покоя или совершающих поступательные или вращательные колебания малой амплитуды относительно неподвижной точки); в ряде случаев эти результаты используются также косвенно. Соответствующая математическая теория достаточно хорошо развита, и имеется большое число как аналитических, так и численных методов для определения поля течения. В этом и

нескольких последующих параграфах мы рассмотрим основные характерные свойства задачи и некоторые разъясняющие ее существо специальные случаи.

В данном параграфе приводятся некоторые результаты, касающиеся асимптотической формы распределения скорости на достаточном удалении от тела, полной энергии жидкости и результирующей силы, действующей на тело при его поступательном движении, без явного учета формы тела, за исключением того, что оно считается занимающим односвязную область. Общность этих результатов имеет особое значение.

Большие различия между свойствами двумерных и трехмерных течений, вызванных движущимися телами, обусловлены тем, что область, занятая жидкостью, обязательно двусвязна в первом случае и односвязна во втором; поэтому рассуждения и результаты в основном приходится формулировать по отдельности для каждого из них. Трехмерное поле течения обычно имеет более простые свойства и оно будет рассматриваться первым.

Скорость на больших расстояниях от тела

Предварительно напомним (см. § 2.9), что в трехмерном поле, в котором градиент на бесконечности равен нулю, потенциал скорости по отношению к сферической поверхности, окружающей внутреннюю границу, можно записать в виде бесконечного ряда по объемным сферическим функциям отрицательной степени. Точнее говоря, в этой области

где и коэффициенты суть тензоры, которые определяются по формулам (2.9.20) через интегралы от по внутренней границе области безвихревого течения. В рассматриваемом здесь случае внутренняя граница представляет собой поверхность тела и результирующий объемный поток через внутреннюю границу равен нулю; вследствие этого, как отмечалось в § 2.9, с Таким образом, в общем случае на больших расстояниях от тела

где

а интеграл берется по всей поверхности тела А с внешней к ней нормалью На больших расстояниях от тела распределение скорости совпадает с распределением скорости от диполя интенсивности расположенного в начале координат, а величина

скорости имеет порядок В частном случае сферы с центром, помещенным в данный момент времени в начале координат, оказывается единственным ненулевым коэффициентом в разложении где а — радиус сферы, мгновенная скорость), так что в этом случае выражение (6.4.2) применимо во всей жидкости.

Аналогичные результаты имеются для течения, обусловленного движением твердого тела в безграничной жидкости в двумерном поле течения, если только правильно выбрать циклическую постоянную, т. е. циркуляцию х вокруг тела. Вместо разложения (6.4.1) справедливо разложение (2.10.6), а именно

в котором коэффициенты определяются интегралами по всей поверхности тела уже не от а от Этот ряд применим в области вне круга с центром в начале координат, содержащего внутреннюю границу течения. Так как первый коэффициент с снова пропорционален результирующему объемному потоку через внутреннюю границу (на единицу толщины по нормали к плоскости движения), а он в данном случае равен нулю, то асимптотическое выражение при соответствующее выражению (6.4.2), имеет вид

где

На больших расстояниях от тела основной член в распределении скорости имеет порядок и он соответствует точечному вихрю интенсивности х, расположенному в начале координат; если же то основной член имеет порядок и соответствует диполю интенсивности в начале координат. В случае движущегося кругового цилиндра с центром, расположенным в данный момент в начале координат, единственным ненулевым коэффициентом будет и асимптотическое выражение (6.4.5) справедливо во всей жидкости.

Интересное свойство интегралов в формулах (6.4.3) и (6.4.6), определяющих интенсивность эффективного диполя, который представляет тело на больших расстояниях, состоит в том, что эти интегралы с одинаковым успехом можно вычислить по любой замкнутой жидкой поверхности охватывающей тело в данный

момент времени. Действительно, имеем

и аналогично для разности заменяющей потенциал скорости в случае двумерного поля. Здесь внешняя нормаль как к поверхности А, так и к поверхности а объемный интеграл берется по объему жидкости, ограниченному поверхностями

Распределение скорости определяется однозначно, если в каждой точке поверхности тела задана величина а также циркуляция вокруг тела в двумерном поле. Мгновенное движение тела определяется в общем случае его угловой скоростью и скоростью некоторой точки тела, в качестве которой для удобства выберем центр объема тела, мгновенное положение которого определяется вектором при этом внутреннее граничное условие во всех точках поверхности А задается равенством

Тогда в случае тела в трехмерном поле величина определяется с использованием (6.4.3) по формуле

где первый интеграл берется по объему тела Следовательно,

в двумерном поле соответствующее выражение имеет вид

В частном случае тела, которое симметрично относительно каждой из трех ортогональных плоскостей в трехмерном поле и которое вращается относительно линии пересечения любых двух из этих плоскостей (так что ), значения потенциала скорости в двух точках на поверхности А на концах прямой, проходящей через центр объема тела, обязательно равны, и векторы единичной нормали антипараллельны; таким образом, интеграл и постоянная с равны нулю, а скорость на больших расстояниях

от тела имеет порядок В случае тела, симметричного относительно каждой из двух ортогональных плоскостей в двумерном поле и при аналогично имеем

Дополнительная информация о зависимости потенциала скорости а следовательно, также и вектора с от содержится в выражениях, подобных (2.9.23) и (2.10.13). Потенциал скорости можно записать в виде где однозначный потенциал скорости, удовлетворяющий заданному внутреннему граничному условию (в данном случае условию (6.4.7)), а многозначный потенциал скорости с циклической постоянной х (которая отлична от нуля только для двумерного течения), удовлетворяющий условию на поверхности А. Потенциал скорости в свою очередь можно представить в виде суммы двух однозначных потенциалов скорости, нормальная производная от одного из них на поверхности А равна величине следовательно, он имеет выражение (2.9.23); нормальная производная от другого потенциала скорости на поверхности А имеет значение и поэтому он линеен относительно вектора Я. Потенциал скорости не зависит от или Я, но обязательно линейно зависит от как отмечалось в § 2.10, имеет выражение

где однозначный потенциал скорости, зависящий только от разности и от формы тела. Следовательно, для полного потенциала скорости (в случае трехмерного течения имеем

Здесь в и все функции от зависящие от формы тела и не зависящие от , а как и — аксиальный вектор, который в случае двумерного поля направлен по нормали к плоскости движения. Подставляя выражение (6.4.10) в граничное условие (6.4.7) и используя тот факт, что эти два соотношения справедливы для всех находим внутренние граничные условия для и в во всех точках поверхности А:

В результате подстановки выражения (6.4.10) в (6.4.8) получается, что с представляет собой линейную функцию от в трехмерном поле

а в двумерном поле

Важное свойство тензора второго порядка, являющегося в данном случае коэффициентом при состоит в том, что он симметричен по индексам ; действительно, из граничных условий (6.4.11) следует, что разность интегралов

Интеграл по объему обращается в нуль, поскольку удовлетворяет уравнению Лапласа, а интеграл по поверхности обращается в нуль, если в качестве поверхности выбрать сферу (в двумерном случае — окружность бесконечно большого радиуса).