2.3. Анализ относительного движения в окрестности точки

Сила, приложенная со стороны одной части жидкости к соседней, зависит от того, как деформируется жидкость в процессе движения, и прежде чем перейти к рассмотрению динамики движения, нужно проанализировать характер движения жидкости в окрестности каждой точки. Этот анализ аналогичен производимому в теории локальной деформации упругого твердого тела при замене деформации и угла поворота частицы твердого тела на скорость деформации и угловую скорость вращения частицы жидкости.

Скорость жидкости в точке х в момент времени обозначена а ее мгновенная скорость в соседней точке равна тогда в прямоугольной системе координат

с точностью до величин первого порядка малости по сравнению с расстоянием между двумя точками. Геометрический характер относительной скорости рассматриваемой как линейная функция можно выяснить путем разложения производной которая представляет собой тензор второго порядка, на две части — симметричную и антисимметричную по индексам и Итак,

где

Два слагаемых выражают отдельные и по существу различные части относительной скорости, к рассмотрению которых мы и приступаем.

Очевидно, что первое слагаемое можно представить в виде

где

поскольку симметричный тензор второго порядка. Поверхности, на которых рассматриваемая как функция от постоянна, образуют семейство поверхностей второго порядка, и вектор параллелен локальной нормали к такой поверхности, проходящей через точку Природа этой части величины станет яснее, если выбрать направления ортогональных осей координат так,

чтобы внедиагональные элементы тензора обратились в нуль, что всегда можно сделать. Тогда эти оси координат совпадут с главными осями тензора и семейства поверхностей второго порядка, а

где компоненты вектора в новых осях. Коэффициенты и с — диагональные компоненты тензора полученные по общей формуле преобразования

и они удовлетворяют инвариантному соотношению

Величина в новых осях имеет три компоненты Поэтому любой линейный элемент жидкости вблизи точки х, параллельный оси (так что для всех точек на линейном элементе значения одинаковы), сохраняет свое направление и растягивается со скоростью Подобным же образом все линейные элементы жидкости, параллельные осям растягиваются со скоростями и с без поворота (поскольку рассматривается только лишь величина Линейные элементы жидкости, не параллельные какой-либо одной из осей координат в общем случае подвергаются как растяжению, так и вращению, но только в тех пределах, которые необходимы для чистого растяжения линейных элементов, параллельных какой-либо одной из ортогональных осей.

Говорят, что величина определяет чисто деформационное движение. Величина ей называется тензором скоростей деформации и полностью задается направлениями своих главных осей и тремя главными скоростями деформации Другое описание поля относительных скоростей состоит в том, что оно превращает элемент жидкости вблизи точки х из сферического в эллипсоидальный с главными осями, которые не поворачиваются и скорости растяжения которых равны Для несжимаемой жидкости этот эллипсоид имеет постоянный объем и равно нулю (см. равенство (2.3.8)). Для сжимаемой жидкости чисто деформационное движение можно рассматривать как наложение, во-первых, изотропного расширения, при котором скорость растяжения всех линейных элементов равна а соответствующий добавок в выражение для равен во-вторых, деформационного движения без изменения объема, для которого добавок в выражение равен .

Обращаясь к слагаемому видим, что величина представляет собой антисимметричный тензор только с тремя независимыми компонентами, и его можно записать в общей форме

где очевидно, представляют собой компоненты вектора коэффициент выбран для упрощения последующего выражения (2.3.10). Соответствующая часть величины равна

т. е. представляет собой -компоненту вектора (1/2) о) Поэтому величина есть скорость в точке с координатой по отношению к точке, относительно которой происходит вращение элемента как твердого тела с угловой скоростью (1/2) о).

Явные выражения компонент вектора а) получим из выражений (2.3.3) и (2.3.9):

или в векторной форме

Вектор играет важную роль в механике жидкости и называется локальной завихренностью жидкости или вектором вихря. Обычно в практике общего векторного анализа векторную функцию координат, имеющую нулевой ротор, принято называть безвихревой в связи с указанной связью между вектором и локальным вращением жидкости.

Можно непосредственно убедиться, что вектор V X и равен удвоенной локальной угловой скорости жидкости. По теореме Стокса

для любой незамкнутой поверхности А, ограниченной замкнутой кривой, элемент которой равен Для площадки, ограниченной окружностью малого радиуса а с центром в точке х и единичной нормалью касательная компонента скорости, осредненная по окружности и отнесенная к радиусу круга а, равна

Жидкость не вращается как твердое тело относительно точки х, так что нельзя говорить, что она имеет локальную угловую скорость в обычном смысле; для деформируемой жидкости требуется несколько более общее определение угловой скорости, и

выражение в левой части равенства (2.3.11) естественно считать определением компоненты локальной угловой скорости, параллельной нормали Чисто деформационное движение, представляемое величиной никак не влияет на эту угловую скорость.

Полезно также рассмотреть выражение для момента количества движения сферического элемента жидкости с центром в точке х, а именно интеграл

При интегрировании по объему элемента величина и ее производная постоянны; поэтому первый член суммы обращается в нуль и момент количества движения относительно оси х равен

где I — момент инерции элемента жидкости относительно любой оси, проходящей через его центр. Это как раз та величина момента количества движения, которую имел бы сферический элемент, если бы он вращался как твердое тело с угловой скоростью Следует отметить, что этот вывод не справедлив для элемента произвольной формы, так как тогда момент количества движения, вообще говоря, зависит от деформационного движения, представляемого величиной (это ясно из рассмотрения момента количества движения элемента в виде длинного тонкого эллипсоида, когда его большая ось не параллельна одной из главных осей деформации), а также от вращательного движения, представляемого величиной

В заключение отметим, что с точностью до величин первого порядка малости по сравнению с линейными размерами малой области, окружающей точку х, поле скоростей в этой области в целом представляется наложением

а) однородного поступательного движения со скоростью и ;

б) чисто деформационного движения, характеризуемого тензором скоростей деформации, которое может быть разложено на изотропное расширение и деформационное движение без изменения объема;

в) поворота как твердого тела с угловой скоростью Аналитически это сводится к тому, что скорость в точке представляется приближенно как

где вычисляются в точке х.