Течение, обусловленное движением тела вдоль оси вращения

Определение течения, обусловленного установившимся поступательным движением твердого тела параллельно оси вращения неограниченной жидкости, представляет собой трудную задачу, и до сих пор не имеется отчетливого представления о всех аспектах такого течения. Здесь мы ограничимся демонстрацией некоторых свойств этого течения в случае движения осесимметричного тела.

Число Россби образованное по скорости тела и одному из его линейных размеров, очевидно, выражает относительную важность эффектов поступательного движения тела и вращения жидкости. В пределе при мы можем ожидать, что распределение (безразмерной) скорости стремится к тому, которое имеется при поступательном движении твердого тела в жидкости, покоящейся на бесконечности. В другом крайнем случае, при вполне можно полагать, что силы инерции малы по сравнению с силами Кориолиса (это обычно бывает тогда, когда скорость жидкости относительно вращающихся осей координат

всюду мала по сравнению с величиной в этом случае мы можем сразу заключить, что в пределе дивергенция в поперечной плоскости должна быть всюду равна нулю. Как уже отмечалось в дапном параграфе, это приводит к требованию, чтобы осевая компонента и скорости не зависела от х; в свою очередь это возможно только тогда, когда вместе с телом переносится столб жидкости, покоящийся относительно тела и содержащийся внутри цилиндра, который имеет образующие, касающиеся тела и параллельные оси х. Хотя возможность существования такого поля течения кажется весьма удивительной, наблюдение показывает, что в общем такая картина течения возникает. Однако остаются неясными подробности течения в цилиндрическом слое сдвига, а также вопрос о том, каким образом формируется этот столб жидкости после начала движения тела.

При малых, но ненулевых значениях числа Россби движущийся столб жидкости, вероятно, видоизменяется, однако почти полное незнание его свойств затрудняет выяснение характера этих видоизменений. Наблюдения за течением при движении шара радиуса а (Тейлор и при движении тела со сферической (радиуса а) носовой и конической кормовой частью (Лонг (1953)) показали, что если меньше 0,2 или 0,3, то столб жидкости действительно проталкивается движущимся телом. Предложенный Тейлором эксперимент с шаром для демонстрации изменения поля течения при указанных значениях очень прост. К дну высокой банки с водой привязывается на нитке легкий шар (например, шарик для игры в настольный теннис), раскрашенный полосками, чтобы можно было наблюдать его вращение; банка с водой приводится в равномерное вращение относительно оси симметрии. Пока шарик не движется в осевом направлении, он, конечно, вращается вместе с окружающей жидкостью. Однако если освобождается и всплывает со скоростью такой, что число Россби превышает 0,3, то, как обнаружил Тейлор, шарик уже не вращается вместе с жидкостью. Прекращение вращения шарика следует ожидать в том случае, когда жидкость вынуждена непрерывно обтекать перемещающийся шарик; при этом любая жидкая окружность вблизи его поверхности сначала имеет малый радиус и, следовательно, малую циркуляцию, так как на более ранней стадии движения все точки этой окружности располагались вблизи оси вращения; с приближением к поверхности шарика азимутальная скорость жидкости стремится к нулю, а наличие вязкости в реальной жидкости гарантирует, что в установившемся движении шарик также будет иметь нулевую скорость вращения. Для некоторых малых значений Тейлор наблюдал, что поднимающийся шарик продолжает вращаться вместе с жидкостью, чего и следовало ожидать, если впереди поднимающегося шарика проталкивается столб (вращающейся) жидкости.

Когда имеет порядок единицы, силы инерции, связанные с поступательным движением тела, сравнимы по величине с силами Кориолиса и должны приводить к ненулевой дивергенции в поперечной плоскости, несмотря на противоположно направленный эффект сил Кориолиса. Вследствие этого вынужденного перемещения элементов жидкости вблизи тела, по-видимому, появятся и будут распространяться осесимметричные волны описанного ранее вида; если жидкость заключена в неограниченный цилиндр, то и в отсутствие диссипации энергии такие волны представляют собой свободные колебания (т. е. прогрессивные волны). На фото 7.6.5 показана картина движения тела с полусферической носовой и конической кормовой частью вдоль оси вращения жидкости, содержащейся в круговом цилиндре; на фотографии отчетливо видны волновые движения, правда, только вниз по потоку от тела.

Эти волны, стационарные относительно тела, «уносят» энергию от тела в том смысле, что с течением времени непрерывно увеличивается длина цуга волн, распространяющихся вниз по потоку; с этим явлением связан дополнительный вклад в сопротивление тела.

Наличие внешней цилиндрической границы жидкости позволяет получить некоторые простые аналитические выводы, в основном связанные с тем обстоятельством, что волновые числа, описывающие возможные колебания жидкости вдали от тела, могут теперь принимать только некоторые дискретные значения, а не непрерывные (в отсутствие ограничивающего цилиндра). Из уравнения (7.6.8) находим, что (безразмерные) волновые числа свободных колебаний, которые распространяются со скоростью и для которых (круговая) цилиндрическая граница служит линией тока, равны

где через обозначен корень уравнения Отсюда видно, что имеется максимальное значение для которого возможны любые свободные колебания; это максимальное значение равно

и ему соответствует значение (т. е. бесконечная длина волны). Это означает, что при скорости движения тела свыше тело не будет генерировать волн. Наличие множителя в этом условии отражает тот факт, что относительное влияние сил Кориолиса увеличивается с увеличением расстояния, на протяжении которого скорость жидкости заметно изменяется; по мере уменьшения скорости от большого значения, при котором течение

г) Если нижняя граница слоя в точности горизонтальна, то скорость жидкости в слое должна быть горизонтальной в силу предположений б) и в). Мы допускаем некоторое влияние формы земной поверхности, но только вводим предположение, что толщина атмосферы или глубина океана, скажем медленно изменяется с изменением положения на поверхности, так что изменение на расстояниях порядка по горизонтали пренебрежимо мало. Единственное проявление этого медленного изменения толщины слоя состоит в наложении ненулевой дивергенции в горизонтальной плоскости, когда жидкость движется по наклонному основанию. Рассматривая сохранение массы жидкого вертикального цилиндра малого поперечного сечения, мы найдем, что дивергенция в горизонтальной плоскости равна со знаком минус скорости растяжения цилиндра по вертикали и равна

Во всем остальном обсуждении вертикальной компонентой скорости жидкости и изменением скорости в слое можно пренебрегать. Этот вид приближения известен в теории поверхностных волн на тяжелой воде как приближение «мелкой воды» (с учетом изменений толщины в этом последнем случае как за счет формы дна, так и смещения свободной поверхности).

Теперь выпишем уравнения движения слоя жидкости на вращающемся шаре, учитывая все введенные предположения. Ясно, что наиболее удобна сферическая система координат которая жестко связана с шаром; начало системы координат поместим в центр шара, внешнюю сферическую границу слоя зададим условием положим в направлении северного полюса (так что обычный угол широты), а направление, в котором угол увеличивается при постоянных , будет восточным (см. рис. 7.7.1). Соответствующими компонентами скорости будут а компонентами вектора угловой скорости Земли — ). Уравнение движения однородной невязкой жидкости относительно вращающихся осей координат было дано выше в векторной форме (7.6.1), а соответствующая система скалярных уравнений в сферических координатах без учета радиальных компонент скорости и ускорения такова:

Рис. 7.7.1. Геострофические системы циклонов в северном и южном полушариях. Завихренность относительно земной поверхности имеет тот же знак, что и а давление в центре каждой системы низкое. 1 — северный полюс; 2 — силы Кориолиса, действующие в направлении от центра области.

Общие выражения для компонент ускорения через компоненты скорости приведены в приложении 2. В этих уравнениях, как и в (7.6.1), через обозначено модифицированное давление, посредством которого могут быть учтены эффекты силы тяжести и центробежной силы, возникающей при вращении системы координат.

Из уравнения (7.7.2) следует, что вертикальный градиент модифицированного давления всюду уравновешивается вертикальной компонентой силы Кориолиса. Однако поскольку толщина слоя жидкости мала по сравнению с горизонтальным масштабом длины рассматриваемого течения, то полное изменение давления в слое относительно невелико, и его, подобно компонентам скорости можно считать в уравнениях (7.7.3) и (7.7.4) постоянным в этом слое. Более важное влияние вращения Земли состоит в образовании вклада в горизонтальную компоненту силы, действующей на частицу жидкости; этот вклад направлен по нормали к мгновенной скорости частицы, причем направление таково, что частица стремится двигаться вправо от мгновенного направления своего движения в северном полушарии (где ) и влево в южном полушарии (где ).

В уравнениях (7.7.3) и (7.7.4) разумно считать постоянным и равным Тогда получаем основные уравнения движения в нашей модели атмосферы или океана:

где

Мы воспользовались здесь стандартным обозначением: удвоенная угловая скорость поворота маятника Фуко на широте называемая параметром Кориолиса (для Земли при имеем откуда

Мы будем использовать также и соответствующее уравнение для радиальной компоненты завихренности, скажем со, относительно вращающихся осей координат. Имеем (см. приложение 2)

после небольших преобразований, используя (7.7.5) и (7.7.6), находим

Здесь через А обозначена дивергенция в горизонтальной плоскости, т. е.

(последнее равенство соответствует (7.7.1)). Теперь уравнение (7.7.7) можно переписать в виде

отсюда видно, что абсолютная завихренность элемента жидкостиг) изменяется только вследствие движения элемента в той области, где толщина слоя жидкости изменяется. В слое постоянной толщины относительная завихренность со изменяется только тогда, когда элемент жидкости движется с изменением широты. Уравнение (7.7.8) можно также вывести непосредственно из рассмотрения сохранения циркуляции по элементарному замкнутому жидкому контуру, лежащему в горизонтальной плоскости.

Эти уравнения применимы к течению с любым характерным масштабом длины при условии, что он больше толщины слоя Наличие берегов континентов приводит к возникновению океанических течений, масштабы длины которых в действительности значительно меньше радиуса Земли подобно этому большой интерес

представляют атмосферные течения, протяженность которых составляет доли радиуса Земли. При исследовании таких течений удобно выбирать более или менее локальные системы координат. В случае поля течения, охватывающего малый диапазон широт относительно широты удобно ввести новые координаты

Координаты (х, у, z), где направлена вертикально вверх, образуют правую систему, подобную сферическим координатам координаты х и у увеличиваются в восточном и северном направлениях соответственно.

При в самом грубом приближении уравнения сводятся к форме, соответствующей двумерному течению в плоском слое жидкости, если не учитывать небольшие изменения толщины, обусловленные топографией дна; в этом случае прямоугольные координаты, а параметр Кориолиса постоянен и равен При этом направление оси х в горизонтальной плоскости несущественно. Единственное явное изменение в уравнении (7.7.8), возникающее в этом приближении, связано с оператором который принимает вид

где компоненты скорости жидкости в направлениях х и у соответственно, а относительная завихренность теперь такова:

Если допустить возможность изменения параметра с широтой, то можно получить улучшенное приближение для уравнений движения, которое позволяет исследовать некоторые виды полей течений, простирающихся на несколько большие, хотя все еще малые, диапазоны широт. Суть такого приближения состоит в том, что для некоторых полей течений с характерным масштабом длины в направлении координаты у и с относительной завихренностью а», меньшей по величине чем отношение может быть сравнимо с и в этом случае сравнимы между собой величины Хотя теперь нельзя считать постоянной в (7.7.8), можно воспользоваться аппроксимацией

где при причем на обоих полушариях). Всеми другими эффектами искривления слоя жидкости можно опять пренебречь при условии, что таким образом, можно считать, что течение происходит в плоском слое, который вращается относительно нормальной

к слою оси с угловой скоростью, линейно изменяющейся в направлении у (т. е. в направлении север — юг). Такое приближение обычно называется приближением -плоскости.

Решения приведенных выше динамических уравнений были исследованы для многочисленных частных случаев и граничных условий; с некоторыми из этих решений мы сейчас познакомимся.