3.4. Изменение внутренней энергии движущейся жидкости

Более глубокое понимание того, как поверхностные силы влияют на движение жидкости, может быть достигнуто при рассмотрении баланса энергии объема жидкости содержащейся внутри жидкой поверхности Работа над этой массой жидкости совершается как объемными, так и поверхностными силами, и, кроме того, может подводиться тепло путем его переноса через границу. Некоторая часть полного увеличения энергии проявляется в виде увеличения кинетической энергии жидкости, а остальная часть, согласно первому закону термодинамики (см. § 1.5), тратится на увеличение ее внутренней энергии. Чтобы представить этот баланс энергии аналитически, мы обычным путем выведем, исходя из баланса энергии для данной массы жидкости, дифференциальное уравнение, справедливое в любой точке жидкости.

Сначала нужно сказать несколько слов об определении некоторых термодинамических величин, связанных с элементом жидкости, при неравновесных условиях. Как было объяснено в § 1.6 и 3.3, при обычных условиях элемент жидкости, скорость и температура которого не постоянны, можно рассматривать как элемент, проходящий через ряд последовательных состояний, в каждом из которых отклонение от равновесия мало. Для некоторых целей отклонением от равновесия в любой момент времени можно пренебречь; в других случаях (например, при расчете девиатора напряжений) эти отклонения важны. Это свидетельствует о

необходимости проявлять осторожность в определении термодинамических величин, всякий раз убеждаясь, что эти определения не требуют строгого соблюдения состояния равновесия. Не возникает трудностей в определении плотности как отношения массы к мгновенному объему элемента, но определения некоторых других величин, например температуры, не являются такими простыми. Определение внутренней энергии на единицу массы имеет основное значение, и оно будет рассмотрено прежде всего Первый закон термодинамики, выражаемый соотношением (1.5.2), сводится по существу к определению разности между значениями внутренней энергии (на единицу массы элемента) в двух различных равновесных состояниях.

Работа, совершаемая над элементом, и количество подведенного к нему тепла между двумя промежутками времени представляют собой реальные, «измеряемые» величины, определение которых не зависит от существования равновесия. Поэтому мы можем по-прежнему определять внутреннюю энергию (на единицу массы) элемента в любой момент времени с помощью соотношения (1.5.2), предполагая при этом, что равновесное состояние, которому в данный момент времени соответствует внутренняя энергия достигается посредством мгновенной изоляции элемента от окружающей его жидкости с последующим представлением ему возможности прийти в состояние равновесия без совершения работы и без подвода тепла.

Теперь после определения двух параметров состояния и способами, которые не зависят от существования равновесия, можно определить и другие величины, рассматривая и как два параметра состояния и используя равновесные уравнения состояния (если только жидкость однородная). Так, например, температуру движущегося элемента жидкости можно определить как величину, удовлетворяющую равновесному соотношению между параметрами при заданных мгновенных значениях плотности и внутренней энергии элемента, и аналогично определить его энтропию (на единицу массы). Это и есть то, что обычно понимают под символами в соотношениях типа (1.6.10), применяя их к неравновесным состояниям.

Перейдем теперь к вычислению баланса внутренней энергии массы однородной жидкости. Скорость, с которой совершается работа над жидкостью (мощность) в объеме равна сумме величины

зависящей от результирующей массовой силы, и величины

связанной с поверхностными силами, приложенными на границе объема со стороны окружающей среды. Таким образом, полная скорость совершения работы на единицу массы жидкости с учетом уравнения движения (3.2.2) имеет выражение

Можно видеть, что первый из двух членов, возникающих из-за работы поверхностных сил, а именно член связан с малой разностью напряжений на противоположных сторонах элемента и приводит (наряду с работой массовых сил) к увеличению кинетической энергии движения элемента как целого; второй член, связан с малой разностью скоростей на противоположных сторонах элемента и зависит от работы, совершаемой при деформации элемента без изменения его скорости. Эта работа деформации элемента полностью идет на увеличение внутренней энергии жидкости.

Предположим, что тепло переносится в жидкости с помощью молекулярной проводимости; тогда скорость подведения тепла к массе жидкости за счет теплопроводности через жидкую граничную поверхность равна

где локальная температура и — коэффициент теплопроводности (§ 1.6). Следовательно, скорость подвода тепла к элементу жидкости на единицу его массы равна

Мы можем считать все члены равенства (1.5.2) отнесенными к изменению состояния элемента в единицу времени. Величина работы в данном случае определяется вторым членом уравнения (3.4.1), а величина теплоты членом (3.4.2). Следовательно, скорость изменения внутренней энергии на единицу массы элемента равна

Подстановка тензора напряжения (3.3.11) в равенство (3.4.3) дает

Для выяснения смысла производной (3.4.4) полезна другая ее запись:

в которой выделены две слагающие работы, совершаемой при деформации элемента: первая слагающая соответствует изотропной части тензора напряжении (давлению) и изотропной части тензора скоростей деформации (скорости объемного расширения), а вторая соответствует девиатору напряжений и неизотропной части тензора скоростей деформации (скорости сдвига). Вторая слагающая неотрицательна; это значит, что любое движение сдвига в жидкости неизбежно сопровождается односторонним переходом энергии от механических источников, вызывающих движение, во внутреннюю энергию жидкости, что и следовало ожидать для напряжений, вызываемых трением. Введем специальное обозначение

для этой скорости диссипации механической энергии (на единицу массы жидкости), вызываемой вязкостью, и отметим, что по своему воздействию на жидкость она эквивалентна необратимому подводу тепла.

Естественно предположить, что первый член в правой части равенства (3.4.4) представляет собой скорость изменения потенциальной энергии сжатия, способной без потерь возвратиться в механическую систему, когда элемент жидкости расширяется. Это верно, хотя только приближенно, из-за влияния (вообще говоря) отклонения от равновесия на механическое давление в равенстве (3.4.4), заслуживающего специального рассмотрения. Давление определяется как среднее нормальное напряжение знаком минус) и представляет собой измеряемую величину. Плотность и внутренняя энергия как объяснялось ранее в этом параграфе, являются функциями состояния элемента жидкости, определения которых не нуждаются ни в каких видоизменениях и которые имеют определенные значения, когда элемент не находится в состоянии равновесия; данным значениям и соответствует определенная величина давления, вычисляемая из (равновесного) уравнения состояния жидкости. Назовем эту последнюю величину «равновесным давлением» и обозначим ее через При отсутствии какого-либо относительного движения жидкости давление и равновесное давление элемента жидкости совпадают; если же имеется относительное движение, то они могут отличаться друг от друга.

Приближенная величина разности для элемента движущейся жидкости может быть определена с помощью точно такого же рассуждения, которое было использовано при определении девиатора напряжений. Предположим, что разность зависит только от мгновенного локального градиента скорости и для достаточно малых величин этого градиента скорости представляет собой линейную функцию от различных компонент тензора т. е.

где тензорный коэффициент зависит от локального состояния жидкости, а не от распределения скоростей. Кроме того, предположим, как и раньше, что реакция жидкости на приложенный градиент скорости одинакова в любом направлении, поэтому тензор должен быть изотропным. У изотропного тензора второго порядка все оси должны быть главными, что возможно только при условии

где скалярный коэффициент (с той же размерностью, что и коэффициент вязкости зависящий от локального состояния жидкости. Тогда (3.4.6) сводится к равенству

из которого видно, что квазитвердое вращение жидкости снова не оказывает никакого влияния на определяемую величину.

Скорость, с которой изотропная часть тензора напряжения совершает работу, переходящую во внутреннюю энергию жидкости на единицу ее массы, можно теперь написать в виде

Первый член в правой части равенства (3.4.9) представляет собой обратимое преобразование энергии, связанной только с равновесным давлением, соответствующим мгновенным значениям плотности и внутренней энергии а второй член имеет постоянный знак и определяет (при выборе ) диссипацию механической энергии. Скорость относительного расширения представляет собой единственную часть локального градиента скорости, от которой зависит разность следовательно, х есть коэффициент сопротивления объемному расширению. Величину х можно также назвать коэффициентом вязкости расширения жидкости в отличие от величины которую тогда следует назвать коэффициентом

вязкости сдвига. В принятых выше условиях второй из двух членов в правой части равенства (3.4.9) имеет малую величину по сравнению с первым, однако, поскольку второй член постоянно положителен, он может приводить к значительной полной диссипации энергии, если скорость расширения периодична и совершает много колебаний.

Процесс, в котором молекулярный перенос количества движения приводит к появлению касательных напряжений и к диссипации механической энергии при простом сдвиге, достаточно очевиден; это — трение в его обычном смысле. Молекулярный процесс, который мог бы быть причиной демпфирования при расширении, менее очевиден, и, хотя природа молекулярного механизма не играет роли в нашем феноменологическом подходе при выводе равенства (3.4.8), сейчас вполне уместно рассмотреть этот вопрос. Во всяком случае, явное представление о действии молекулярного механизма необходимо, если нужно оценить величину х для различных жидкостей.

Равенство (3.4.8) можно рассматривать как соотношение, определяющее величину запаздывания при согласовании механического давления с непрерывно изменяющимися значениями плотности и внутренней энергии при движении жидкости с расширением; предположительно коэффициент х отличен от нуля для любой жидкости, в которой механическое давление иначе зависит от характера движения молекул и их строения, чем величины и Действительно, в конце § 1.7 мы уже видели, как может появиться запаздывание в установлении механического давления совершенного газа из многоатомных молекул. В таком газе среднее нормальное напряжение пропорционально энергии поступательного движения молекул, в то время как внутренняя энергия включает также энергию вращательных и (если температура достаточно высока) колебательных форм движения молекул; запаздывание в установлении (в процессе столкновения молекул) равного распределения энергии между различными формами движения молекул для данных значений внутренней энергии и плотности приводит к большой по сравнению с равновесной величине среднего нормального напряжения, когда газ сжимается, т. е. к положительному значению х. Кроме того, поскольку величина (где и, как в § 1.7, скорость молекулы) равна среднему нормальному напряжению в совершенном газе, как в состоянии равновесия, так и в неравновесном состоянии, а величина равна равновесному нормальному напряжению в зависимости от и мы видим, что соотношение (1.7.32) есть просто разновидность равенства (3.4.8) для совершенного газа; из этого следует, что для такого газа из многоатомных молекул, вращательные формы движения которых обладают временем релаксации порядка нескольких интервалов столкновения и вносят существенный

вклад в величину внутренней энергии, отношение должно быть постоянной величиной порядка единицы.

Исследования затухания звуковых волн достаточно высокой частоты в некоторых двухатомных газах подтвердили точность линейного соотношения (3.4.8) и дали значения отношения порядка единицы. Однако для более высоких частот (например, выше гц в азоте при стандартных условиях) линейная зависимость от нарушается. При условиях, в которых колебательные формы движения молекул делают заметный вклад в величину внутренней энергии газа, равенство (3.4.8) обычно неточно вследствие очень большого времени релаксации для этих форм их движения. В этих случаях требуется другая теория, которая до некоторой степени учитывает историю движения 1). О пригодности линейного соотношения (3.4.8) и о величине х в жидкостях имеется мало сведений.

Скорости относительного объемного расширения в подавляющем большинстве течений много меньше скоростей сдвига по той очевидной причине, что изменения среднего нормального напряжения, сопровождающиеся изменением объема, оказываются значительно больше типичного касательного напряжения. Следовательно, условия, в которых вязкость при расширении жидкости играет важную роль, редки, причем большей частью они ограничиваются исследованиями затухания высокочастотных звуковых волн и структуры ударных волн.

В этой книге у нас не будет другого случая обратиться к объемной вязкости, кроме обсуждения свойств жидкости, содержащей малые газовые пузырьки в суспензии (§ 4.11), и в дальнейшем давления будут считаться одинаковыми без дополнительных пояснений.

Наконец, приведем выражение для скорости относительного изменения энтропии на единицу массы жидкости в ее элементе. Соотношения (1.5.20) между различными переменными, описывающими изменение состояния среды, дают

Используя уравнение сохранения энергии (3.4.4) и уравнение сохранения массы, можно получить

это уравнение — аналог уравнения (1.6.10) для движущейся жидкости, и оно является более общим, чем уравнение (3.1.18).

Все последние члены в правой части уравнения (3.4.11) связаны с явлениями молекулярного переноса. Имеется много течений, в которых, как будет показано, эффектами молекулярного переноса можно пренебречь, и тогда

Течения этого вида, в которых энтропия элемента жидкости постоянна, называются изэнтропическими. Другой полезный, еще не общепринятый термин — гомоэнтропическое течение означает, что энтропия на единицу массы постоянна по всей жидкости.