Твердый круговой цилиндр

Трудности, связанные с использованием уравнений (4.9.1) и (4.9.2), и преодоление этих трудностей с помощью уравнений Озеена (4.10.2) обнаружены в ряде других случаев равномерно движущихся в жидкости тел. Упомянем здесь случай кругового цилиндра радиуса а, движущегося со скоростью в направлении нормали к своей оси, так как в нем наиболее наглядно проявляются отличия от движения сферы, типичные для двумерного течения при малых числах Рейнольдса.

Решение уравнений (4.9.1) и (4.9.2) можно искать точно таким же способом, как и для движущейся сферы, используя линейность решения относительно скорости и зависимость его только от Вместо выражений (4.9.4) и (4.9.5) находим

где С — постоянная и полярные координаты двумерного вектора х. Завихренность также можно выразить через функцию тока Аналогично выражению (4.9.6) имеем функцию тока

где функция удовлетворяет уравнению

Общее решение этого уравнения

В случае цилиндра возникает трудность, состоящая в том, что частный интеграл, связанный с распределением завихренности, не удовлетворяет условию обращения в нуль скорости на бесконечности. Если на время пренебречь внешним граничным условием для и, то можно найти, что условия на внутренней границе, а именно

удовлетворяются, если

В таком случае распределение скорости выражается формулой

Нормальное и касательное напряжения на поверхности цилиндра, которые получаются из выражений (4.10.9) и (4.10.12), развивают на поверхности цилиндра силу сопротивления

на единицу длины цилиндра.

Выражения (4.10.9) и (4.10.12) для давления и скорости и удовлетворяют уравнениям (4.9.1) и (4.9.2), внутреннему граничному условию и условиям линейности относительно

и симметрии при хотя скорость и возрастает как при больших значениях и никаким выбором остающейся произвольной постоянной С нельзя добиться, чтобы при было и . Однако решение (4.10.12) небесполезно. Согласно выражению (4.10.12), две части пренебрегаемой силы инерции (см. (4.9.13)) при больших имеют величины

С другой стороны, сохраняемая в уравнении сила вязкости имеет величину

Обе части силы инерции становятся сравнимыми с силой вязкости на достаточно больших расстояниях от цилиндра: первая часть, когда отношение имеет порядок и вторая — когда имеет порядок Следовательно, решение (4.10.12) оказывается несостоятельным приближением для поля течения при больших значениях и невозможность удовлетворить внешнему граничному условию может и не быть результатом какого-либо непоправимого недостатка этого решения. Очевидно, что при больших нужно какое-нибудь другое приближение к уравнению движения, и скорость (4.10.12) должна сращиваться с решением такого приближенного уравнения при

Подробные вычисления показывают, что уравнение движения в приближении Озеена действительно имеет решение (Ламб (1911)), непротиворечивое на всем протяжении поля течения в том смысле, что отбрасываемый член оцененный на основании полученного решения, оказывается всюду малым по сравнению с членами, сохраняемыми в уравнении при Вблизи цилиндра это решение для приближается, с абсолютной ошибкой порядка к выражению (4.10.12), если константу в нем выбрать равной

Отметим, что при этом значении С величина согласно «внутреннему» решению (4.10.12), не становится сравнимой с величиной до тех пор, пока отношение не будет величиной порядка которая в то же время определяет величину отношения при котором необходимо уточненное уравнение Озеена и при котором его решение начинает отличаться от решения (4.10.12).

Общие свойства течения на больших расстояниях от цилиндра, полученные исходя из уравнения Озеена, подобны установленным

в случае сферы; в частности, за цилиндром имеется параболический след с конечной завихренностью.

Поскольку решение уравнения Озеена вблизи цилиндра приближенно совпадает с выражением (4.10.12) с ошибкой такого же порядка, которая возникает при замене уравнения движения уравнением Озеена (а именно с ошибкой то формула силы сопротивления (4.10.13) остается применимой. Подставляя в нее значение постоянной (4.10.15), получаем коэффициент сопротивления на единицу длины цилиндра

Измерения силы сопротивления цилиндра при низких числах Рейнольдса провести значительно труднее, чем в случае сферы, главным образом вследствие нежелательного влияния торцов цилиндра конечной длины, однако формула (4.10.16) дает вблизи значения, которые не противоречат наблюдению (см. рис. 4.12.7).

В некоторых недавних исследованиях предложен метод нахождения приближений более высокого порядка для течения около кругового цилиндра и вычислен коэффициент его сопротивления. Из этих исследований выяснилось, что формула (4.10.12) (вместе с дает (безразмерное) распределение скорости в окрестности цилиндра с абсолютной ошибкой порядка