Демпфирующая сила, действующая на колеблющееся тело

Как следует из (5.13.6), напряжение трения на границе представляется действительной частью выражения

Трение на поверхности опережает по фазе на скорость внешнего потока (т. е. оно проходит свой цикл раньше на одну восьмую периода колебаний); это связано с тем, что градиент давления, обусловленный колебаниями, действует на все слои жидкости одинаково и вследствие этого в замедленных слоях вблизи границы происходит более быстрое нарастание скорости в направлении ускорения, чем это происходит в удаленных от границы слоях. Из-за того, что это различие фаз не равно в случае колебания твердого тела относительно фиксированного положения на каждом цикле тело совершает отличную от нуля работу против напряжений трения и на тело действует демпфирующая сила. Зная форму тела и скорость внешнего

безвихревого течения на границе, мы можем легко определить величину силы, действующей на колеблющееся в покоящейся на бесконечности жидкости тело, поступательная скорость которого равна действительной части выражения действительное число, а к — постоянный единичный вектор); эта сила обусловлена касательным напряжением на поверхности тела, определяемым соотношением (5.13.8).

Однако имеется еще вклад нормального напряжения на поверхности в результирующую силу, действующую на тело. Давление на поверхности приближенно равно тому, которое было бы в случае полностью невязкой жидкости и всюду безвихревого течения; точность этого приближения увеличивается по мере стремления отношения к нулю, т. е. при Следовательно, в качестве первого приближения для результирующей силы давления на поверхность тела можно взять полную силу, действующую на то же самое тело, колеблющееся в невязком потоке. Но безвихревое течение, возникшее в результате движения тела в невязкой жидкости, определяется единственным образом заданием его мгновенной скорости и должно периодически изменяться с той же самой частотой что и частота колебаний тела; аналогичным образом кинетическая энергия жидкости является чисто периодической величиной, а поскольку никакого накопления энергии здесь не происходит, то результирующая работа, выполненная телом за один цикл для преодоления нормальных напряжений, в безвихревом потоке равна нулю. (См. также § 6.4, где непосредственно показано, что сила сопротивления при ускоренном движении тела в невязкой жидкости имеет фазу, отличающуюся на от фазы скорости тела.) Таким образом, необходимо найти более подходящее приближение для давления на поверхности. Касательные силы на поверхности дают вклад в демпфирующую (безразмерную) силу порядка Это определяется тем, как именно вязкость входит в выражение (5.13.8); вклад от нормальных напряжений должен иметь такой же порядок. Однако доказать это нелегко. Стоке (1881) сумел вычислить поле течения для случая малых колебаний сферы и цилиндра без использования каких-либо предположений о величине числа Рейнольдса; как можно увидеть из его результатов, при имеется вклад в давление на поверхности тела, обусловленный наличием пограничного слоя; поправка к давлению на поверхности в безвихревом потоке оказалась в точности такой, как если бы, во-первых, сферу или цилиндр заменили другими, радиусы которых превышают прежние на величину порядка во-вторых, центры этих эффективно увеличенных тел сместили вниз по потоку от центров исходных тел на величину порядка первое приводит к небольшому увеличению мгновенной результирующей силы, обусловленной нормальными напряжениями, а второе дает вклад в силу

давления, который находится в фазе со скоростью тела, т. е. это вклад в демпфирующую силу.

Для определения демпфирующей силы мы используем несколько иной (и более простой) метод. Как уже отмечалось, безвихревое течение и связанное с ним течение в пограничном слое (5.13.6) дают хорошую аппроксимацию распределения скорости во всем поле течения. Следовательно, мы располагаем всем необходимым, чтобы оценить полную скорость диссипации энергии в жидкости и тем самым определить среднюю скорость, с которой тело производит работу. Итак, полная скорость диссипации в пограничном слое (толщина которого а скорость внешнего потока имеет порядок на единицу объема жидкости или в расчете на всю площадь А поверхности тела; вклад от области безвихревого течения имеет порядок на единицу объема жидкости или для всего поля течения; ясно, что последним вкладом можно пренебречь. Внутри пограничного слоя местная скорость жидкости почти параллельна границе, так что для скорости диссипации энергии на единицу объема в некоторой точке пограничного слоя из (5.13.6) получаем

где через обозначена действительная часть соответствующей комплексной величины; здесь величина действительная, так как все области внешнего безвихревого потока совершают колебания в одной и той же фазе. Среднее значение за один цикл скорости диссипации энергии в пограничном слое на единицу площади поверхности тела для точки, где безвихревой поток колеблется с амплитудой таким образом, равно

а средняя полная скорость диссипации получается путем интегрирования по поверхности тела А. Теперь, если через обозначить демпфирующую силу, действующую на тело в фазе со скоростью тела то средняя скорость, с которой тело совершает работу против приложенных к нему сил со стороны жидкости, равна следовательно,

Чтобы продвинуться дальше, нам нужно знать форму тела и по ней определить Для сферы из (2.9.28) (после подходящего изменения обозначений) находим

а для кругового цилиндра (на единицу длины) из (2.10.12) получаем

где радиус, полярный угол, причем направление совпадает в обоих случаях с направлением вектора k. Таким образом,

Из (5.13.8) можно легко найти, что вклад в от касательных напряжений на поверхности тела составляет 2/3 полной величины для сферы и 1/2 — для цилиндра; остальная доля демпфирующей силы, очевидно, обусловлена действием нормальных напряжений, зависящих от наличия пограничного слоя. Выразим в безразмерных коэффициентах, как это обычно принято, полученные выше демпфирующие силы:

где амплитуда колебаний центра тела. Изменение демпфирующей силы по закону в случае безотрывного течения в пограничном слое нами уже отмечалось; новое состоит в том, что число Рейнольдса основано на амплитуде колебаний, а не на линейном размере тела.

Для свободно колеблющегося упругого кругового цилиндра плотности такого, как струна фортепиано, средняя полная энергия цилиндра равна на единицу длины и затухание колебаний под действием сил вязкости определяется уравнением

Таким образом, и поэтому удельное уменьшение энергии цилиндра за один цикл приближенно равно

Измерения скорости потери энергии свободно колеблющегося кругового цилиндра за счет демпфирования жидкости показали,

что при больших значениях отношения измеренная демпфирующая сила хорошо согласуется с полученной выше оценкой для колебаний с амплитудой не превышающей .