6.8. Осесимметричное безвихревое течение, вызванное движением тела

Теория функций комплексного переменного дает мощные общие методы определения безвихревого течения, вызванного движущимся телом в двумерном поле. К сожалению, в соответствующей трехмерной задаче нет никакого аналога теории функций комплексного переменного и приходится иметь дело с довольно ограниченным числом специальных методов. Теоретический анализ менее труден в частном случае безвихревого течения, вызванного осесимметричным твердом телом, движущимся в направлении своей оси без вращения, поскольку тогда все поле течения будет осесимметричным и здесь мы рассмотрим только этот случай.

Общие сведения

В § 2.9 отмечалось, что два фундаментальных решения уравнения Лапласа в трехмерном поле имеют вид где поверхностная сферическая функция степени (положительное целое число), определяемая как

Если поле течения осесимметрично, то в выражение потенциала скорости могут входить только осесимметричные сферические функции, т. е. только те функции, для которых все индексы имеют значение, соответствующее направлению оси симметрии. Таким образом, если ось х совпадает с осью симметрии течения, подходяшие сферические функции степени имеют вид

Это выражение представляет собой функцию только величины и оно пропорционально полиному Лежандра (или функции Лежандра, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению Лежандра целого порядка в том виде, в котором он обычно определяется Применяется также другое выражение для через производные по (называемое формулой Родригеса)

В частных случаях формула (6.8.2) дает

Во многих случаях осесимметричного течения в качестве независимой переменной удобно использовать функцию тока Стокса Как показано в § 2.2, компоненты скорости в сферических координатах таковы:

Таким образом, выражения для функции тока соответствующие объемным сферическим функциям, когда

имеют вид

Фундаментальное решение другого вида, которое иногда может быть полезно, получается из уравнения Лапласа для потенциала скорости в цилиндрических координатах и азимутальный угол) в предположении, что

Функция удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка, которое имеет конечное при решение в обычных обозначениях. Путем сравнения двух возможных выражений для компонент скорости как производных от или легко найти, что двум решениям

соответствуют выражения функции тока

Связь между решениями (6.8.6) и объемными сферическими функциями, а также использование их для построения безвихревых течений, имеющих физический смысл, читатель найдет в более исчерпывающих источниках

Все приведенные выражения представляют собой решения дифференциального уравнения относительно функции тока полученного для безвихревого течения. Условие отсутствия вихрей требует, чтобы выполнялось равенство

после подстановки в него выражений из (6.8.4) получим дифференциальное уравнение для функции тока

В цилиндрических координатах х, а аналогично находим

Интересна близость по форме этих уравнений и уравнений, которым удовлетворяет функция а именно

или

хотя в осесимметричном течении функции имеют совершенно разный смысл, а также и разную размерность.

Граничные условия, которым должна удовлетворять функция когда жидкость покоится на бесконечности, состоят в том, как установлено ранее, что

и на поверхности обтекаемого тела

где мгновенная скорость тела, параллельная его оси симметрии. Когда тело занимает односвязную область пространства, этим граничным условиям может удовлетворять одно-единственное распределение скорости безвихревого течения жидкости.

Нужно также определить граничные условия для функции тока чтобы использовать их в тех случаях, когда в качестве основного уравнения движения берется уравнение (6.8.8) или (6.8.9). Очевидно, что если жидкость покоится на бесконечности, то внешнее граничное условие, согласно (6.8.4), имеет вид

На поверхности тела нормальная компонента скорости и, записанная в виде производной от функции тока должна быть равна Это последнее условие может быть представлено в удобной аналитической форме, если заметить, что во второй системе координат, движущейся с постоянной скоростью, равной скорости в рассматриваемый момент времени, тело неподвижно (возможно, только мгновенно), и линия пересечения поверхности тела и осевой плоскости представляет собой линию тока, на которой функция тока постоянна и может быть принята равной нулю. Поля скоростей относительно этих двух систем координат отличаются лишь на постоянную скорость параллельную оси тела, и две

соответствующие функции тока отличаются на член или на Следовательно, внутреннее граничное условие на поверхности тела, которому должна удовлетворять функция в системе координат, фиксированной в жидкости на бесконечности, имеет вид

Метод построения полей течения подсказывается формой условия (6.8.12). Если мы заменим в условии (6.8.12) функцию любой функцией от и (или от z и а), удовлетворяющей дифференциальному уравнению (6.8.8) (или (6.8.9)), а также внешнему граничному условию, то получим соотношение между , определяющее меридианные кривые семейства поверхностей, каждая из которых, будучи твердой, могла бы создавать течение с принятой функцией тока при движении со скоростью параллельно своей оси. Однако не все решения уравнения (6.8.8), используемые таким образом, дают замкнутые поверхности, которые можно рассматривать как твердые тела.