Реакция на ускорение

Возвратимся теперь к первому члену правой части формулы (6.4.23), к реакции от ускорения при поступательном движении, определяемой как

с безразмерным (симметричным) тензором Поскольку сила, действующая на твердое тело при его поступательном ускоренном движении через окружающую жидкость, выражается линейной функцией от компонент ускорения, то естественно рассматривать множитель при в (6.4.28), а именно как тензор присоединенной массы, который должен быть добавлен к реальной массе тела, когда находится его реакция на приложенную силу. Величина масса жидкости, вытесняемой телом, и можно назвать (тензорным) коэффициентом присоединенной массы. Оказывается, что при поступательном движении с нулевой циклической постоянной скорость на больших расстояниях от тела, полная кинетическая энергия жидкости и присоединенная масса определяются объемом тела скоростью и коэффициентом

Реакция жидкости на ускорение тела, очевидно, связана с тем фактом, что при изменении скорости тела изменяется и полная кинетическая энергия жидкости. Часть этой кинетической энергии, возникающая вследствие поступательного движения тела (но не циркуляции скорости вокруг него, которая может и существовать!), представляет собой квадратичную функцию от компонент скорости в любой момент времени (см., например, следовательно, она представима кинетической энергией определенного добавка к массе тела (причем масса рассматривается как тензор второго порядка). Когда скорость тела изменяется,

производная по времени от кинетической энергии жидкости, связанной с поступательным движением тела, равна

Таким образом, полная работа, совершаемая телом против реакции на ускорение, превращается в кинетическую энергию жидкости, связанную с поступательным движением тела; кинетическая энергия в двумерном потоке, связанная с циркуляцией скорости вокруг тела, хотя и бесконечна, но при движении тела с ускорением может, очевидно, считаться постоянной. Следует заметить, что когда скорость тела периодически изменяется с течением времени, среднее значение произведения на протяжении одного цикла обращается в нуль, подтверждая то, что никакой суммарной работы телом не совершается, как было показано в § 5.13 на основании энергетических соображений.

Аналогичное толкование реакции на ускорение можно в принципе дать через полную величину количества движения жидкости, которая, как можно ожидать, будет линейной функцией компонент скорости Однако непосредственное вычисление скорости изменения величины количества движения жидкости невозможно вследствие того, что при стремлении объема V к бесконечности интеграл в общем случае не является абсолютно сходящимся; для больших модуль скорости имеет порядок в трех и двух измерениях соответственно (мы не рассматриваем здесь вопрос о циркуляции), и, хотя никакой расходимости логарифмического типа не возникает, величина интеграла зависит от формы внешней границы, линейные размеры которой увеличиваются. Трудность состоит в том, что вдали от тела в движении типа диполя, которое возникает в жидкости под влиянием градиентов давления при ускорении тела, получаются бесконечно большие величины количества движения как в жидкости, движущейся вперед, так и в жидкости, движущейся назад. Однако можно сказать, что скорость, с которой тело сообщает жидкости количество движения, равна следовательно, что компонента полной величины количества движения, переданной жидкости при изменении скорости тела от нуля до равна

Неважно, передается ли это количество движения жидкости постепенно или сразу, и величину можно назвать импульсом жидкости, означающим импульс, который тело должно сообщить жидкости для того, чтобы создать из состояния покоя безвихревое течение, обусловленное поступательным движением тела со скоростью

Сила, действующая на тело при ускорении жидкости

Некоторые из предшествующих формул можно обобщить с учетом ускорения жидкости, через которую движется тело. Пусть масса жидкости, которая окружает тело, имеет постоянное ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Тогда удобно выбрать движущиеся оси координат так, чтобы скорость жидкости на достаточном удалении от тела (или, что равносильно, скорость жидкости в отсутствие тела) была равна нулю и оставалась все время такой. Уравнение движения жидкости относительно этих ускоренно движущихся осей координат должно включать постоянную массовую силу инерции на единицу массы. Следовательно, возникает дополнительный добавок к давлению и дополнительный добавок (эффективная сила плавучести, аналогичная силе, возникающей при действии на жидкость силы тяжести) к полной силе, действующей на тело.

Если теперь предположить, что тело совершает поступательное движение с ускорением по отношению к инерциальной системе координат, то картина линий тока будет зависеть только от мгновенной скорости движения тела относительно жидкости на бесконечности (и также от циркуляции скорости вокруг тела в случае двумерного поля скоростей), однако результирующая сила, действующая на тело, будет зависеть еще и от ускорения жидкости. Во-первых, ускорение тела по отношению к жидкости на бесконечности равно так что реакция ускорения (6.4.28) принимает вид

Во-вторых, существует новый, упомянутый выше добавок Таким образом, оставляя в стороне боковую силу, обусловленную циркуляцией скорости, и силу плавучести, связанную с силой тяжести, мы получим следующее выражение -компоненты силы, действующей на тело:

Применение этой формулы в случае сферы, взвешенной в жидкости, дано в § 6.8.

Упражнение

(см. скан)