7.3. Двумерное течение неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности

Двумерные течения ничем не ограниченной жидкости, которая покоится на бесконечности, имеют ряд важных отличий от течений, рассмотренных в предыдущем параграфе. Во-первых, на

больших расстояниях от начала координат скорость может асимптотически изменяться по закону это связано с существованием ненулевой циркуляции относительно круга большого радиуса, как и в случаях безвихревого течения при наличии внутренней границы (см. § 6.4). Второе отличие состоит в том, что самоиндуцированная скорость движения прямолинейной вихревой нити не будет бесконечной, а поведение вихревой трубки с прямыми вихревыми линиями не зависит решающим образом от площади ее поперечного сечения; таким образом, области концентрации завихренности в двумерном течении можно вполне надежно аппроксимировать аналитически точечными вихрями.

В двумерном поле течения без внутренних границ безвихревой вклад в (7.1.1) снова равен нулю и для любой точки поля течения имеем

где элемент площади плоского течения, координата, нормальная к плоскости течения, а интегрирование выполняется по всему (трехмерному) пространству. Поскольку вектор со нормален к плоскости течения, то не зависит от z и можно выполнить интегрирование по в результате получаем

где х, у — прямоугольные координаты в плоскости течения, соответствующие компоненты скорости, а интегрирование выполняется по всей плоскости течения. Очевидно, что это распределение скорости можно получить дифференцированием функции тока

Эту функцию можно также рассматривать как выражение ненулевой компоненты векторного потенциала.

Если завихренность на больших расстояниях от начала координат достаточно мала, то при находим

Таким образом, распределение скорости вдали от начала координат оказывается в точности таким, как если бы в начале координат был помещен точечный вихрь с интенсивностью, равной